- MATH.APP.440
- 5. Sarjaoppia
- 5.3 Taylorin ja Laurentin sarjat
Taylorin ja Laurentin sarjat¶
Tähän mennessä on osoitettu, että potenssisarjan avulla määritelty funktio
on suppenemisalueessaan |z−z0|<R analyyttinen. Käänteinen kysymys kuuluu, että voidaanko alueessa A analyyttinen funktio esittää potenssisarjana. Vastaus on kyllä, kuten reaalifunktioidenkin tapauksessa, ja sarjakehitelmä saadaan jopa saman muotoiseksi kuin reaalianalyysissa.
Oletetaan hetken aikaa, että edellä mainittu analyyttisen funktion f sarjakehitelmä on olemassa. Cauchyn integraalikaava derivaatoille takaa, että funktiolla f on pisteessä z0 kaikkien kertalukujen derivaatat, ja derivoimalla sarjaa termeittäin pisteessä z0 saadaan
Täten potenssisarjakehitelmän kerroin
kun n∈N. Jos nyt S on suppenemisalueessa sulkeutuva yksinkertainen paloittain sileä tie, niin Cauchyn integraalikaava derivaatoille antaa kertoimille kaavan
Tämä potenssisarjakehitelmän kertoimien esitys on käyttökelpoisin Taylorin sarjan olemassaolon todistamisen kannalta, sillä se seuraa helposti Cauchyn integraalikaavaa ja geometrista sarjaa käyttäen.
Lause 5.3.1 (Taylorin sarja)
Oletetaan, että funktio f on analyyttinen kiekossa |z−z0|<R. Jos
kun n∈N, niin
aina, kun |z−z0|<R.
Hahmotellaan todistuksen ideaa, kun z0=0. Jos z=0, väite pitää triviaalisti paikkansa. Oletetaan sitten, että kompleksiluku z toteuttaa ehdon 0<|z|<R. Kirjoitetaan r=12(|z|+R), jolloin 0<|z|<r<R, ja määritellään S kompleksitason origokeskiseksi r-säteiseksi ympyräksi. Jos nyt |s|=r, niin |z/s|<1 ja siksi
Sijoitetaan tämä Cauchyn integraalikaavaan, jolloin
Tulos seuraa Cauchyn integraalikaavasta derivaatoille.
Edellisen lauseen välitön seuraus on, että pisteessä z0 kehitetty funktion f Taylorin sarja on yksikäsitteinen. Kaikkia aiemmin käsiteltyjä sarjojen laskusääntöjä voidaan käyttää Taylorin sarjakehitelmien tutkimiseen.
Esimerkki 5.3.2
Eksponenttifunktio ja trigonometriset funktiot ovat analyyttisia koko kompleksitasossa, joten niiden potenssisarjat suppenevat kaikkialla. Johdetaan seuraavaksi eksponenttifunktion ja kompleksisen sinin sarjakehitelmät origossa.
Koska ddzez=ez ja e0=1, niin lauseen 5.3.1 mukaan mielivaltaisessa kompleksitason pisteessä z
Hyödyntämällä tätä ja kompleksisen sinin määritelmää nähdään, että
Tässä
joten indeksin k avulla esitettynä
Esimerkki 5.3.3
Tutkitaan avoimessa kiekossa |z|<1 määritellyn funktion f(z)=1/(1−z) Taylorin sarjakehitelmää. Kun z tulkitaan vakioksi, niin geometrinen sarja
jos |z|<1. Niinpä funktiota f esittävä Taylorin sarja on f(z)=∑∞n=0zn. Tämä sarja voidaan derivoida termeittäin, jolloin derivaatan f′ Taylorin sarjaksi saadaan
Tämänkin sarjan suppenemisalue on kiekko |z|<1. Mikä Taylorin sarja tässä kiekossa saataisiin etsimällä funktion f ja potenssisarjan termien zn, n∈N antiderivaatat?
Kompleksitason alueita, joilla funktio f voidaan esittää Taylorin sarjana, rajoittaa kehityskeskuksen z0 etäisyys lähimmästä pisteestä, jossa f ei ole analyyttinen. Taylorin sarja suppenee funktion arvoihin ainoastaan tämän etäisyyden määräämässä kiekossa. Sarjaesityksen laajentaminen tätä suurempaan alueeseen ei onnistu (sarja ei suppene), mutta tarvittaessa voidaan valita uusi kehityskeskus, jolloin saadaan uusi sarjaesitys kyseisen pisteen ympäristössä.
Seuraavassa esimerkissä havaitaan, että geometrinen sarja voi olla näppärä apuväline funktion Taylorin sarjakehitelmän etsimiseen.
Esimerkki 5.3.4
Funktio f(z)=zi−z on analyyttinen kaikkialla lukuunottamatta pistettä z=i. Etsitään sen Taylorin sarja origon ympäristössä.
Koska etäisyys origosta lähimpään pisteeseen, jossa f ei ole analyyttinen on 1, funktio voidaan kehittää potenssisarjaksi vain kiekossa |z|<1. Käyttäen geometrisen sarjan summakaavaa saadaan
Tämä sarja suppenee geometrisena sarjana, kun |zi|=|z|<1, kuten pitääkin.
Taylorin sarjaa (ja myöhemmin Laurentin sarjaa) voi käyttää raja-arvojen laskemiseen tapauksissa, joihin l’Hôpitalin sääntö ei sovellu.
Esimerkki 5.3.5
Lasketaan raja-arvo limz→0z−sin(z)z(ez2−1) osoittajan ja nimittäjän Taylorin sarjojen
ja
avulla. Sijoittamalla sarjat lausekkeeseen saadaan
Huomaa samankaltaisuus rationaalilausekkeiden raja-arvon laskemisen kanssa.
Analyyttisen kompleksimuuttujan funktion Taylorin sarjalla on edellä esitetyn nojalla hyvin samankaltaiset ominaisuudet kuin derivoituvan reaalifunktion Taylorin sarjalla. Kompleksianalyysissa sarjakehitelmien mahdollisuudet kuitenkin ylittävät reaalisen vastineen mahdollisuudet reippaasti. Jos nimittäin reaalifunktio ei ole derivoituva jossakin pisteessä, niin sen ympäristössä ei ole mahdollista löytää kattavaa funktiota kuvaavaa potenssisarjaa. Kompleksimuuttujan funktiolle tämä on edelleen mahdollista Cauchyn integraalikaavan vuoksi.
Ennen lausetta 5.3.1 pohdittiin, miten analyyttisen funktion f mahdollisen Taylorin sarjan kertoimet
määräytyvät. Kun f ei olekaan analyyttinen pisteessä z0, derivaattoihin perustuvaa esitysmuotoa ei voida laskea. Käy kuitenkin ilmi, että jos sopiva käyrä S sulkee sisälleen pisteen z0 ja S kulkee alueessa, jossa f on analyyttinen, säännöllä
voidaan edelleen muodostaa eräänlainen potenssisarjakehitelmä funktiolle f pisteen z0 ympäristössä. Tämä vaatii kuitenkin myös negatiivisten potenssien sallimista.
Lause 5.3.6 (Laurentin sarja)
Oletetaan, että funktio f on analyyttinen rengasmaisessa alueessa r<|z−z0|<R. Jos S on paloittain sileä Jordanin käyrä tässä renkaassa ja
kun n∈Z, niin
aina, kun r<|z−z0|<R.
Kuten Taylorin sarjaesityksen tapauksessa, hahmotellaan todistuksen ideaa kun z0=0. Muuttujanvaihto w=z−z0 säilyttää seuraavan päättelyn. Oletetaan, että kompleksiluku z toteuttaa ehdon r<|z|<R. Kirjoittamalla r1=12(r+|z|) ja r2=12(|z|+R) saadaan säteet r1 ja r2, joille r<r1<|z|<r2<R. Määritellään S1 ja S2 kompleksitason origokeskisiksi r1- ja r2-säteisiksi ympyröiksi, jolloin näillä ympyröillä voidaan kirjoittaa
Olkoon Γ tiet S1 ja S2 yhdistävä jana, joka ei kulje pisteen z kautta. Niinpä kun teiden S1 ja S2 parametrisoinnit aloitetaan niiden leikkauspisteistä janan Γ kanssa, tie
on paloittain sileä Jordanin käyrä, joka sulkee sisäänsä pisteen z ja jonka sisäpuolella funktio f on analyyttinen (tie C sisältyy rengasmaiseen alueeseen r<|z|<R). Niinpä Cauchyn integraalikaavan nojalla
Sijoittamalla edellä johdetut lausekkeen 1/(s−z) sarjaesitykset ympyröillä S1 ja S2 nähdään, että
Kun jälkimmäisessä sarjassa indeksiksi n vaihdetaan −n−1, saadaan tulos
missä S on sopiva teiden S1 ja S2 deformaatio.
Huomautus 5.3.7
Jos funktio f on analyyttinen pisteessä z0, niin se on
- määritelty pisteessä z0
- derivoituva jossakin pisteen z0 ympäristössä.
Tästä päätellään erityisesti, että jos funktiota f ei ole määritelty pisteessä z0, se ei ole analyyttinen pisteessä z0. Monissa Laurentin sarjan sovelluksissa kehityspisteenä on juuri jokin funktion määrittelyjoukon ulkopuolelle jäävä piste.
Kuten annetussa pisteessä z0 kehitetty Taylorin sarja, myös pisteessä z0 kehitetty Laurentin sarja on yksikäsitteinen. Tämä tarkoittaa erityisesti sitä, että millä tahansa tavalla Laurentin sarjan ehdot toteuttava sarjakehitelmä onkin löydetty, kyseessä todella on Laurentin sarja. Joissakin tapauksissa Laurentin sarjan voi johtaa epäanalyyttiseen funktioon liittyvän analyyttisen funktion Taylorin sarjasta.
Esimerkki 5.3.8
Funktio e1/z2 ei ole analyyttinen origossa, sillä sitä ei ole määritelty siellä. Tiedetään kuitenkin, että
koko kompleksitasossa, joten origon ulkopuolella
Tämä todella on Laurentin sarja, sillä e1/z2 on analyyttinen missä tahansa rengasmaisessa alueessa 0≤r<|z|<R.
Kun lausetta 5.3.6 luetaan tarkkaan, sen oletuksiin ei lopulta kuulu funktion epäanalyyttisuus kehityskeskuksessa. Riittää itseasiassa, että kehityskeskuksen ympäristössä (eli sitä ympäröivässä kiekossa) on piste, jossa funktio ei ole analyyttinen. Tämä tarkoittaa sitä, että Laurentin sarjan avulla voidaan laajentaa Taylorin sarjan antamaa sarjakehitelmää.
Esimerkki 5.3.9
Rationaalifunktio
on analyyttinen pisteitä z=−1 ja z=−2 lukuunottamatta. Tämän vuoksi sille saadaan kolme erilaista sarjakehitelmää origon suhteen.
Origon ympäristö |z|<1. Funktio f on analyyttinen tässä alueessa, joten sillä on siellä Taylorin sarja. Kirjoitetaan funktion f osamurtokehitelmässä
f(z)=11−(−z)−1211−(−z/2),jolloin sarjaesitys saadaan geometristen sarjojen avulla muotoon
f(z)=∞∑n=0(−z)n−12∞∑n=0(−z2)n=∞∑n=0(−1)n(1−12n+1)zn.Rengasmainen alue 1<|z|<2. Funktio f on analyyttinen tässä alueessa, mutta ei kaikissa sen sisään jäävissä pisteissä, joten sillä on siellä Laurentin sarja. Kirjoitetaan funktion f osamurtokehitelmässä
f(z)=1z11−(−1/z)−1211−(−z/2),jolloin sarjaesitys saadaan geometristen sarjojen avulla muotoon
f(z)=1z∞∑n=0(−1z)n−12∞∑n=0(−z2)n=∞∑n=0(−1)nz−(n+1)+∞∑n=0(−1)n+12n+1zn.Tämä voidaan kirjoittaa myös yhtenä summana
f(z)=∞∑n=−∞anzn,missäan={(−1)n+1,kun n<0(−1)n+1/2n+1,kun n≥0.Alue |z|>2. Funktio f on analyyttinen, mutta ei kaikissa sen sisään jäävissä pisteissä, joten sillä on siellä Laurentin sarja. Kirjoitetaan funktion f osamurtokehitelmässä
f(z)=1z11−(−1/z)−12z11−(−1/(2z)),jolloin sarjaesitys saadaan geometristen sarjojen avulla muotoon
f(z)=1z∞∑n=0(−1z)n−12z∞∑n=0(−12z)n=∞∑n=0(−1)n(1−2−n−1)z−n−1.Indeksiä vaihtamalla tämä saadaan Laurentin sarjan normaaliin muotoon
f(z)=−1∑n=−∞(−1)n(1−2n)zn.
Toinen yleinen tapa esittää funktion f Laurentin sarja on jakaa se kahteen osaan
joista toiseen kerätään positiiviset ja toiseen negatiiviset potenssit. Jotta näin esitetty Laurentin sarja voisi supeta kohti funktiota f, molempien näin kirjoitetuista sarjoista on oltava suppenevia. Jos sarja suppenee missään, niin kyseessä on rengasmainen alue r<|z−z0|<R (mahdollisesti r=0 ja/tai R=∞). Säde r määräytyy Laurentin sarjan negatiivisten potenssien osasta ja säde R positiivisten potenssien osasta.
Esimerkki 5.3.10
Funktiolle f on kehitetty origossa Laurentin sarja
Määritä pisteet, joissa tämä sarja suppenee.
Annetussa sarjakehitelmässä
ovat potenssisarjoja, joiden suppenemista voidaan tutkia suhdetestillä. Nyt raja-arvo
silloin, kun |z|<√2, ja raja-arvo
silloin, kun 13<|z|. Niinpä funktion f Laurentin sarja suppenee, kun 13<|z|<√2.
Funktiolla on pisteen z0
- ympäristössä Taylorin sarja, jos se on analyyttinen pisteessä z0.
- ympäröivässä renkaassa Laurentin sarja, jos renkaan sisäpuolella on piste, jossa funktio ei ole analyyttinen.
Taylorin ja Laurentin sarjakehitelmiä voi etsiä
- määritelmien avulla,
- sijoituksilla tunnettuihin sarjoihin (geometrinen sarja, funktion ez sarja),
- derivoimalla sarjaa termeittäin tai etsimällä sen termeille antiderivaatat.
Taylorin ja Laurentin sarjan suppenemisalueita voi tutkia suhde- ja juuritesteillä.