Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Tämä kurssi on jo päättynyt.

Reaalisen määrätyn integraalin laskeminen

Reaalisia määrättyjä integraaleja on joskus kätevää laskea kompleksimuuttujan funktion integraalina. Residylaskentaa käyttäen ja etsimällä sopivat sulkeutuvat integrointitiet voi esimerkiksi seuraavassa käsiteltäviä hankalia reaalisia integraaleja laskea (naurettavan) helposti.

Oletetaan läpi tämän osion, että p ja q ovat polynomeja, jolloin p(x)/q(x) on rationaalifunktio.

Integraali muotoa 2π0f(sin(x),cos(x))dx

Käyttämällä ovelasti bijektiivistä muuttujanvaihtoa z=eix, missä x[0,2π], sini- ja kosinifunktioiden mielivaltaisen lausekkeen reaalinen integraali

2π0f(sin(x),cos(x))dx

voidaan samastaa yksikköympyrän yli lasketun kompleksisen integraalin kanssa. Tällöin nimittäin

sin(x)=eixeix2i=zz12ijacos(x)=eix+eix2=z+z12,

ja koska

dzdx=ddxeix=ieix=iz,

differentiaali dx=dz/(iz). Jos merkitään S={zC|z|=1}, saadaan

2π0f(sin(x),cos(x))dx=Sf(zz12i,z+z12)1izdz.

Esimerkki 7.2.1

Lasketaan integraali

2π0dt5+4sin(t).

Tässä integrointiväli on [0,2π] ja f(sin(t),cos(t))=(5+4sin(t))1, joten voidaan soveltaa edellä kuvattua menetelmää. Sijoituksella z=eit saadaan siis

2π0dt5+4sin(t)=S(5+4zz12i)11izdz=Sdz2z2+5iz2,

missä S on origokeskinen yksikköympyrä. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan nojalla 2z2+5iz2=0 täsmälleen silloin, kun

z=5i+((5i)242(2))1/222=5i+(9)1/24=5i±3i4,

eli kun z=2i tai z=i2. Näistä vain i2 on yksikköympyrän sisäpuolella, joten integrandi

12z2+5iz2=12(z+2i)(z+i2)

on analyyttinen kaikkialla integrointialueessa paitsi pisteessä i2, missä sillä on yksinkertainen napa. Residy

resz=i/2(12z2+5iz2)=limzi/2(z+i2)12(z+2i)(z+i2)=limzi/212(z+2i)=13i,

ja täten residylauseen nojalla

2π0dt5+4sin(t)=2πi13i=2π3.

Pohdi 7.2.2

Onko esitellyn menetelmän toimivuuden tai käytännöllisyyden kannalta oleellista, että

  1. integroimisväli on täsmälleen [0,2π],
  2. integraalissa esiintyy sin(x) tai cos(x), eikä esimerkiksi sin(3x),
  3. f(zz12i,z+z12) on erityisen helposti integroituva?

Tämän tyypin integraaleissa vaatimus kertoimesta 1 sinin ja kosinin argumentin edessä ei ole välttämätön. Esimerkiksi

sin(3x)=ei3xei3x2i=z3z32i,

joten nämäkin voidaan palauttaa uuden muuttujan z rationaalifunktioksi. Sen sijaan esimerkiksi lauseketta sin(x2) ei voida esittää näin.

Esimerkki 7.2.3

Lasketaan integraali

2π0cos(2t)54cos(t)dt.

Tässä integrointiväli on [0,2π] ja termistä cos(2t) huolimatta voidaan soveltaa sijoitusta z=eit. Tällöin edellistä esimerkkiä mukaillen

2π0cos(2t)54cos(t)dt=2π0ei2t+ei2t254eit+eit2dt=Sz2+z2104(z+z1)1izdz,

missä S on origokeskinen yksikköympyrä. Tämä integraali supistuu edelleen muotoon

Sz2+z210iz4iz24idz=12iSz4+12z45z3+2z2dz=i2Sz4+1z2(z2)(2z1)dz.

Integrandi on analyyttinen kaikkialla, paitsi origossa (kaksinkertainen napa), sekä pisteissä z=2 ja z=12 (yksinkertaiset navat). Näistä vain origo ja 12 jäävät integrointialueeseen, joten lasketaan integrandin

g(z)=z4+1z2(z2)(2z1)

residyt niissä:

resz=0(g)=limz01(21)!d21dz21z2g(z)=limz0ddzz4+1(z2)(2z1)=limz04z3(z2)(2z1)(z4+1)(2z1+2(z2))(z2)2(2z1)2=limz001(1+2(2))(2)2(1)2=54resz=1/2(g)=limz1/2(z12)g(z)=limz1/2z4+12z2(z2)=(12)4+12(12)2(122)=1712.

Täten residylauseen nojalla

2π0cos(2t)54cos(t)dt=i22πi(541712)=π6.

Integraali muotoa p(x)q(x)dx

Jos tiedetään, että epäoleellinen integraali

p(x)q(x)dx=0p(x)q(x)dx+0p(x)q(x)dx

suppenee, niin se voidaan määrittää Cauchyn pääarvona (Cauchy principal value)

p(x)q(x)dx=limRRRp(x)q(x)dx.

Lähdetään tutkimaan tällaisen raja-arvon määrittämistä.

Määritellään integroitavaa rationaalifunktiota vastaava kompleksimuuttujan rationaalifunktio p(z)/q(z), missä reaalinen muuttuja vain vaihdetaan kompleksiseen. Oletetaan lisäksi yleisyyttä loukkaamatta, että polynomeilla p ja q ei ole yhteisiä nollakohtia. Integraali on olemassa vain, kun nimittäjällä q(x) ei ole nollakohtia, eli funktiolla p(z)/q(z) ei saa olla reaalisia napoja. Tällöin tämä funktio on analyyttinen jokaisessa reaaliakselin pisteessä. Suljetun integrointitien löytämiseksi määritellään

CR={Reitt[0,π]}jaSR=[R,R]CR,

jolloin SR on ylempään puolitasoon sijoittuva origokeskinen puoliympyrä. Kompleksinen rationaalifunktio on siis analyyttinen kaikkialla tien SR sisäpuolella, paitsi mahdollisissa eristetyissä erikoispisteissä.

../_images/ReaalinenEpaoleellinen.svg

Kuva 7.2.1. Integroimistie, joka koostuu R-säteisen ympyrän puolikkaasta ja reaaliakselin janasta.

Jos tien SR ympyräkaari suunnistetaan vastapäivään, niin voidaan kirjoittaa

SRp(z)q(z)dz=RRp(x)q(x)dx+CRp(z)q(z)dz.

Tässä yhtälön vasemman puolen integraali voidaan laskea residylauseen avulla, jolloin jäljelle jää integraalin

CRp(z)q(z)dz

määrittäminen. Aloitetaan kirjoittamalla

p(z)q(z)=(zw1)(zw2)(zwm)(zz1)(zz2)(zzn).

Koska integraalista ollaan kiinnostuneita silloin, kun R, voidaan olettaa että |zk|<R aina, kun k=1,2,,n. Jos nyt zCR, eli |z|=R, niin |z|>|zk|, kun k=1,2,,n ja kolmioepäyhtälön nojalla

|p(z)q(z)|(|z|+|w1|)(|z|+|w2|)(|z|+|wm|)(|z||z1|)(|z||z2|)(|z||zn|)=Rm(1+|w1|R)(1+|w2|R)(1+|wm|R)Rn(1|z1|R)(1|z2|R)(1|zn|R).

Niinpä koska tien CR pituus on πR, ML-lauseesta seuraa, että

0|CRp(z)q(z)dz|π(1+|w1|R)(1+|w2|R)(1+|wm|R)Rnm1(1|z1|R)(1|z2|R)(1|zn|R).

Jos nm1>0, eli jos nm2, eli jos nimittäjän aste on osoittajan astetta vähintään kahta suurempi, ylärajan raja-arvo

limRπ(1+|w1|R)(1+|w2|R)(1+|wn|R)Rmn1(1|z1|R)(1|z2|R)(1|zm|R)=0,

ja tällöin myös

limRCRp(z)q(z)dz=0.

Jos siis pisteet z1,z2,,znCR ovat funktion p(z)/q(z) navat ja deg(p)deg(q)2, niin

p(x)q(x)dx=limRSRp(z)q(z)dz=2πiIm(zk)>0resz=zk(p(z)q(z)),

eli integraali voidaan laskea ylempään puolitasoon jäävissä navoissa muodostuvien residyjen avulla.

Esimerkki 7.2.4

Lasketaan integraali

1(x2+1)(x2+4)dx.

Tätä varten määritetään ylempään puolitasoon osuvat eristetyt erikoispisteet, ja lasketaan niissä residyt. Nimittäjän nollakohdista ±i ja ±2i pisteet z=i ja z=2i jäävät ylempään puolitasoon, ja kumpikin niistä on integroitavan funktion

1(z2+1)(z2+4)=1(zi)(z+i)(z2i)(z+2i)

yksinkertainen napa. Niinpä residyt

resz=i(1(z2+1)(z2+4))=limzi(zi)1(z2+1)(z2+4)=limzi1(z+i)(z2i)(z+2i)=1(i+i)(i2i)(i+2i)=i6resz=2i(1(z2+1)(z2+4))=limz2i(z2i)1(z2+1)(z2+4)=limz2i1(zi)(z+i)(z+2i)=1(2ii)(2i+i)(2i+2i)=i12

ja integraali

1(x2+1)(x2+4)dx=2πi(i6+i12)=π6.
  • Residy on funktion Laurentin sarjakehitelmään liittyvä kerroin a1.

  • Funktion f integraali yhden eristetyn erikoispisteen ympäri kiertävää paloittain sileää Jordanin käyrää S pitkin on

    Sf(z)dz=2πiresz=z0(f).
  • Jos integroimistien sisään jää useampia eristettyjä erikoispisteitä, niin integraali voidaan laskea usean integraalin summana, jossa jokainen integroimistie sulkee sisäänsä täsmälleen yhden eristetyn erikoispisteen.

Residylaskentaa voidaan soveltaa reaalisten integraalien laskemiseen.

  • 2π0f(sin(x),cos(x))dx voidaan muuntaa kompleksiseksi integraaliksi sijoituksella z=eix ja esittämällä sin(x) ja cos(x) eksponenttifunktion avulla.
  • Rationaalifunktion p(x)/q(x) integraali p(x)q(x)dx voidaan laskea ylempään puolitasoon jäävissä navoissa muodostuvien residyjen avulla, kunhan polynomilla q ei ole reaalisia nollakohtia ja deg(q)deg(p)+2.
Palautusta lähetetään...