- MATH.APP.440
- 7. Residylaskenta
- 7.2 Reaalisen määrätyn integraalin laskeminen
Reaalisen määrätyn integraalin laskeminen¶
Reaalisia määrättyjä integraaleja on joskus kätevää laskea kompleksimuuttujan funktion integraalina. Residylaskentaa käyttäen ja etsimällä sopivat sulkeutuvat integrointitiet voi esimerkiksi seuraavassa käsiteltäviä hankalia reaalisia integraaleja laskea (naurettavan) helposti.
Oletetaan läpi tämän osion, että p ja q ovat polynomeja, jolloin p(x)/q(x) on rationaalifunktio.
Integraali muotoa ∫2π0f(sin(x),cos(x))dx¶
Käyttämällä ovelasti bijektiivistä muuttujanvaihtoa z=eix, missä x∈[0,2π], sini- ja kosinifunktioiden mielivaltaisen lausekkeen reaalinen integraali
voidaan samastaa yksikköympyrän yli lasketun kompleksisen integraalin kanssa. Tällöin nimittäin
ja koska
differentiaali dx=dz/(iz). Jos merkitään S={z∈C∣|z|=1}, saadaan
Esimerkki 7.2.1
Lasketaan integraali
Tässä integrointiväli on [0,2π] ja f(sin(t),cos(t))=(5+4sin(t))−1, joten voidaan soveltaa edellä kuvattua menetelmää. Sijoituksella z=eit saadaan siis
missä S on origokeskinen yksikköympyrä. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan nojalla 2z2+5iz−2=0 täsmälleen silloin, kun
eli kun z=−2i tai z=−i2. Näistä vain −i2 on yksikköympyrän sisäpuolella, joten integrandi
on analyyttinen kaikkialla integrointialueessa paitsi pisteessä −i2, missä sillä on yksinkertainen napa. Residy
ja täten residylauseen nojalla
Pohdi 7.2.2
Onko esitellyn menetelmän toimivuuden tai käytännöllisyyden kannalta oleellista, että
- integroimisväli on täsmälleen [0,2π],
- integraalissa esiintyy sin(x) tai cos(x), eikä esimerkiksi sin(3x),
- f(z−z−12i,z+z−12) on erityisen helposti integroituva?
Tämän tyypin integraaleissa vaatimus kertoimesta 1 sinin ja kosinin argumentin edessä ei ole välttämätön. Esimerkiksi
joten nämäkin voidaan palauttaa uuden muuttujan z rationaalifunktioksi. Sen sijaan esimerkiksi lauseketta sin(x2) ei voida esittää näin.
Esimerkki 7.2.3
Lasketaan integraali
Tässä integrointiväli on [0,2π] ja termistä cos(2t) huolimatta voidaan soveltaa sijoitusta z=eit. Tällöin edellistä esimerkkiä mukaillen
missä S on origokeskinen yksikköympyrä. Tämä integraali supistuu edelleen muotoon
Integrandi on analyyttinen kaikkialla, paitsi origossa (kaksinkertainen napa), sekä pisteissä z=2 ja z=12 (yksinkertaiset navat). Näistä vain origo ja 12 jäävät integrointialueeseen, joten lasketaan integrandin
residyt niissä:
Täten residylauseen nojalla
Integraali muotoa ∫∞−∞p(x)q(x)dx¶
Jos tiedetään, että epäoleellinen integraali
suppenee, niin se voidaan määrittää Cauchyn pääarvona (Cauchy principal value)
Lähdetään tutkimaan tällaisen raja-arvon määrittämistä.
Määritellään integroitavaa rationaalifunktiota vastaava kompleksimuuttujan rationaalifunktio p(z)/q(z), missä reaalinen muuttuja vain vaihdetaan kompleksiseen. Oletetaan lisäksi yleisyyttä loukkaamatta, että polynomeilla p ja q ei ole yhteisiä nollakohtia. Integraali on olemassa vain, kun nimittäjällä q(x) ei ole nollakohtia, eli funktiolla p(z)/q(z) ei saa olla reaalisia napoja. Tällöin tämä funktio on analyyttinen jokaisessa reaaliakselin pisteessä. Suljetun integrointitien löytämiseksi määritellään
jolloin SR on ylempään puolitasoon sijoittuva origokeskinen puoliympyrä. Kompleksinen rationaalifunktio on siis analyyttinen kaikkialla tien SR sisäpuolella, paitsi mahdollisissa eristetyissä erikoispisteissä.
Kuva 7.2.1. Integroimistie, joka koostuu R-säteisen ympyrän puolikkaasta ja reaaliakselin janasta.
Jos tien SR ympyräkaari suunnistetaan vastapäivään, niin voidaan kirjoittaa
Tässä yhtälön vasemman puolen integraali voidaan laskea residylauseen avulla, jolloin jäljelle jää integraalin
määrittäminen. Aloitetaan kirjoittamalla
Koska integraalista ollaan kiinnostuneita silloin, kun R→∞, voidaan olettaa että |zk|<R aina, kun k=1,2,…,n. Jos nyt z∈CR, eli |z|=R, niin |z|>|zk|, kun k=1,2,…,n ja kolmioepäyhtälön nojalla
Niinpä koska tien CR pituus on πR, ML-lauseesta seuraa, että
Jos n−m−1>0, eli jos n−m≥2, eli jos nimittäjän aste on osoittajan astetta vähintään kahta suurempi, ylärajan raja-arvo
ja tällöin myös
Jos siis pisteet z1,z2,…,zn∈C∖R ovat funktion p(z)/q(z) navat ja deg(p)≤deg(q)−2, niin
eli integraali voidaan laskea ylempään puolitasoon jäävissä navoissa muodostuvien residyjen avulla.
Esimerkki 7.2.4
Lasketaan integraali
Tätä varten määritetään ylempään puolitasoon osuvat eristetyt erikoispisteet, ja lasketaan niissä residyt. Nimittäjän nollakohdista ±i ja ±2i pisteet z=i ja z=2i jäävät ylempään puolitasoon, ja kumpikin niistä on integroitavan funktion
yksinkertainen napa. Niinpä residyt
ja integraali
Residy on funktion Laurentin sarjakehitelmään liittyvä kerroin a−1.
Funktion f integraali yhden eristetyn erikoispisteen ympäri kiertävää paloittain sileää Jordanin käyrää S pitkin on
∫Sf(z)dz=2πiresz=z0(f).Jos integroimistien sisään jää useampia eristettyjä erikoispisteitä, niin integraali voidaan laskea usean integraalin summana, jossa jokainen integroimistie sulkee sisäänsä täsmälleen yhden eristetyn erikoispisteen.
Residylaskentaa voidaan soveltaa reaalisten integraalien laskemiseen.
- ∫2π0f(sin(x),cos(x))dx voidaan muuntaa kompleksiseksi integraaliksi sijoituksella z=eix ja esittämällä sin(x) ja cos(x) eksponenttifunktion avulla.
- Rationaalifunktion p(x)/q(x) integraali ∫∞−∞p(x)q(x)dx voidaan laskea ylempään puolitasoon jäävissä navoissa muodostuvien residyjen avulla, kunhan polynomilla q ei ole reaalisia nollakohtia ja deg(q)≥deg(p)+2.