- MATH.APP.440
- 1. Kompleksiluvut
- 1.4 Napakoordinaattiesitys ja juuret
Napakoordinaattiesitys ja juuret¶
Koska kompleksitaso voidaan samastaa karteesisen tason R2 kanssa, kompleksiluvuille saadaan napakoordinaattiesitys samaan tapaan kuin reaalilukupareillekin. Jos (x,y)∈R2 ja r=√x2+y2>0, niin on olemassa täyden kierroksen 2π monikerran lisäystä vaille yksikäsitteinen kulma ϕ, jolle
Kuvan 1.4.1 suorakulmaisesta kolmiosta nähdään, että ϕ (tai ϕ+k2π, missä k∈Z) on vektorin (x,y) ja x-akselin muodostama suunnattu kulma.
Kuva 1.4.1. Kompleksiluvun z≠0 napakoordinaattiesitys muodostetaan kuten tason R2 pisteen.
Suoralla analogialla siis päätellään, että jos z=x+iy∈C, niin r=|z| ja ϕ on ehdot (1) toteuttava luvun z argumentti, joille
Kuten edellä, kulma ϕ on vain luvun 2π monikerran lisäystä vaille yksikäsitteinen. Kaikkia luvun z argumentteja merkitään yhteisesti arg(z), eli jos ϕ on jokin luvun z argumentti, niin arg(z)=ϕ+k2π, missä k∈Z. Kompleksiluvun argumentti voidaan laskea seuraavasti.
Jos Re(z)=0 ja Im(z)=0, niin arg(z)=arg(0) ei ole määritelty.
Jos Re(z)=0 ja Im(z)≠0, niin
arg(z)={π2+k2π,kun Im(z)>0−π2+k2π,kun Im(z)<0,k∈Z.Jos Re(z)≠0 ja z=x+iy, niin
arg(z)={arctan(yx)+k2π,kun x>0π+arctan(yx)+k2π,kun x<0,k∈Z.
Esimerkki 1.4.1
Olkoon z1=1+i ja z2=√3+i. Esitä z1 ja z2 napakoordinaattimuodossa.
Nyt |z1|=√12+12=√2 ja kuvan 1.4.2 muistikolmioiden perusteella esimerkiksi tan(π4)=1=11. Vastaavasti |z2|=2 ja esimerkiksi tan(π6)=1√3. Siis
Myös mikä tahansa luvuista π4+k2π, k∈Z, kuten −7π4 kävisi luvun z1 argumentiksi.
Kuva 1.4.2. Muistikolmiot kulmien π4, π3 ja π6 käsittelyyn.
Jokaiselle kompleksiluvulle z voidaan siis määrittää napakoordinaatit r ja ϕ, mutta näistä argumentti ϕ ei ole yksikäsitteinen. Seuraavan tuloksen todistaminen jätetään harjoitustehtäväksi.
Lause 1.4.2
Kompleksiluvut z1 ja z2 toteuttavat ehdon z1=z2, jos ja vain jos
Huomautus 1.4.3
Ilmaus arg(z1)=arg(z2) sisältää luvun 2π monikertojen lisäyksen: arg(z1)=ϕ1+k2π ja arg(z2)=ϕ2+l2π joillekin reaaliluvuille ϕ1 ja ϕ2, sekä kokonaisluvuille k ja l. Yhtäpitävästi voitaisiin sanoa, että ϕ1=ϕ2+m2π jollekin kokonaisluvulle m.
Koska kompleksiluvun argumentti on tähän tapaan 2π-jaksollinen suure, sen arvo millä tahansa puoliavoimella 2π-pituisella välillä on yksikäsitteinen. Sen vuoksi seuraava määritelmä on järkevä.
Määritelmä 1.4.4
Kompleksiluvun z pääargumentti Arg(z)=ϕ, jos ϕ=arg(z) ja −π<ϕ≤π.
Mikä tahansa kompleksiluvun z argumentti voidaan esittää pääargumentin avulla muodossa arg(z)=Arg(z)+k2π jollakin kokonaisluvulla k.
Pohdi 1.4.5
Lukujen z1=1+i ja z2=√3+i tulon ja osamäärän napakoordinaattiesitykset ovat
Vertaa näitä esimerkin 1.4.1 tuloksiin. Mitä luvun itseisarvolle ja argumentille tapahtuu jako- ja kertolaskuissa?
Pohditaan sitten napakoordinaattiesityksen hyödyllisiä seurauksia. Erityisesti kompleksilukujen kerto- ja jakolaskulle löytyy helpot tulkinnat itseisarvojen ja argumenttien avulla.
Lemma 1.4.6 (Kerto- ja jakolasku napakoordinaattimuodossa)
Olkoot z1=r1(cos(ϕ1)+isin(ϕ1)) ja z2=r2(cos(ϕ2)+isin(ϕ2)). Tällöin
- z1z2=r1r2(cos(ϕ1+ϕ2)+isin(ϕ1+ϕ2)),
- z1z2=r1r2(cos(ϕ1−ϕ2)+isin(ϕ1−ϕ2)).
Todistetaan lause hyödyntämällä reaalisen sinin ja kosinin summakaavoja
ja
Huomaa, että tässä sini ja kosini ovat reaalifunktioita, joiden ominaisuudet oletetaan tunnetuiksi.
Suoralla laskulla nähdään, että
Näin ensimmäinen kohta on todistettu. Koska
toinen kohta seuraa ensimmäisestä.
Geometrisesti edellinen lemma sanoo, että kompleksilukujen kertolaskussa niiden itseisarvot kerrotaan keskenään ja argumentit lisätään toisiinsa. Vastaavasti jakolaskussa määritetään itseisarvojen osamäärä ja argumenttien erotus. Tätä voidaan havainnollistaa kuvan 1.4.3 tapaan.
Kuva 1.4.3. Kompleksiluvulla kertominen skaalaa itseisarvoa ja lisää vakion argumenttiin.
Tästä tuloksesta seuraa välittömästi, että kaikille kompleksiluvuille z1 ja z2 on voimassa
Kumpikaan näistä ei ole yleisesti voimassa pääargumentille. Vastaesimerkiksi käy z1=−1 ja z2=1+i. Lisäksi luvun z=r(cos(ϕ)+isin(ϕ)) liittoluvun napakoordinaattiesitys on
joten arg(¯z)=−arg(z).
Pohdi 1.4.7
Onko Arg(¯z)=−Arg(z) kaikille kompleksiluvuille z?
Lemman 1.4.6 kaavoista seuraa induktiolla ja parin erityistapauksen käsittelyllä yksinkertainen laskukaava myös kompleksiluvun potensseille.
Seuraus 1.4.8 (De Moivren kaava)
Olkoon z=r(cos(ϕ)+sin(ϕ)) ja n∈Z. Tällöin
Esimerkki 1.4.9
Olkoon z1=1+i ja z2=√3+i. Lasketaan
Esimerkistä 1.4.1 muistetaan, että
joten De Moivren kaavan avulla saadaan
Lemman 1.4.6 nojalla siis
Esimerkki 1.4.10
Olkoon z=r(cos(ϕ)+isin(ϕ)). Tiedon arg(¯z)=−arg(z) avulla voidaan osoittaa, että
Esimerkki 1.4.11
Napakoordinaattiesityksen ja De Moivren kaavan avulla voidaan laskea kaikki ne luvut w, jotka toteuttavat yhtälön w5=2i. Merkitään w=r(cos(ϕ)+isin(ϕ)), jolloin De Moivren kaavan nojalla
Merkitsemällä 2i=2(cos(π2)+isin(π2)) ja hyödyntämällä lausetta 1.4.2 päätellään, että w5=2i täsmälleen silloin, kun
jollakin kokonaisluvulla k. Edelleen siis
jollakin kokonaisluvulla k. Merkitään ϕk=π10+k2π5. Äkkiseltään voi vaikuttaa siltä, että ratkaisuja on ääretön määrä, mutta todellisuudessa kokonaisluvun k kasvattaminen johtaa toistuviin ratkaisuihin:
joten jokaisella kokonaisluvulla k argumentit ϕk+5 ja ϕk vastaavat samaa kompleksilukua w. Erilliset ratkaisut vastaavat siis viittä peräkkäistä kokonaisluvun k arvoa, ja ne voidaan valita vapaasti esimerkiksi luvusta 0 alkaen. Yhtälön ratkaisut ovat siis
Näitä lukuja yhdessä kutsutaan luvun 2i viidensiksi juuriksi.
Esimerkissä 1.4.11 laskettiin yhteensä viisi ratkaisua yhtälölle w5=2i. Vastaavuus ratkaisujen lukumäärän ja eksponentin välillä ei ole sattumaa, ja yleisesti kompleksilukuyhtälöllä wn=z on n kappaletta erillisiä ratkaisuja.
Määritelmä 1.4.12
Oletetaan, että z∈C ja n∈N. Niitä lukujen w joukkoa, jotka toteuttavat yhtälön wn=z kutsutaan luvun z n:ksi juuriksi ja merkitään
Huomautus 1.4.13
Reaalilukujen joukossa on mahdollista määritellä luvun n:s juuri luontevalla tavalla yksikäsitteisesti. Kompleksilukujen joukossa tämä ei onnistu (ainakaan yhtä luontevasti), joten reaaliluvun ja kompleksiluvun juurille varataan eri merkinnät. Reaaliluvun a juurta merkitään n√a ja kompleksiluvun a juurta a1/n.
Lisäksi merkintä z1/n tarkoittaa määritelmän mukaan luvun z n:sien juurten joukkoa, mutta joissakin tapauksissa sillä tarkoitetaan myös tämän joukon alkioita.
Juurten ratkaiseminen ja niiden lukumäärä voidaan muotoilla yhdessä De Moivren kaavan seurauksena.
Seuraus 1.4.14
Olkoon z=r(cos(ϕ)+isin(ϕ)), missä r≥0, ϕ=Arg(z) ja n∈N. Tällöin
Merkitään w=s(cos(θ)+isin(θ)), jolloin De Moivren kaavan nojalla wn=z täsmälleen silloin, kun
jollakin kokonaisluvulla k. Siis
missä k∈Z. Merkitsemällä θk=1n(ϕ+k2π) nähdään, että
joten
Toisaalta θk+m≠θk aina, kun k∈Z ja m∈{0,1,2,…,n−1}, joten erilliset ratkaisut voidaan esittää muodossa
missä k∈{0,1,2,…,n−1}.
Esimerkki 1.4.15
Lasketaan kaikki luvun z=−8−8√3i neljännet juuret. Piirtämällä z vektorina kompleksitasoon nähdään, että Arg(z)=−2π3 ja että
Täten seurauksen 1.4.14 nojalla
Tämä lauseke voidaan tulkita kahden kompleksiluvun tulona seuraavasti:
missä k∈{0,1,2,3}. Siis erilliset juuret perusmuodossa ovat
Juurten piirtäminen kompleksitason pisteiksi kuvan 1.4.4 tapaan paljastaa, kuinka ne todella ovat origokeskisen ympyrän kehällä tasaisin välein.
Kuva 1.4.4. Luvun −8−8√3i neljännet juuret.
Esimerkki 1.4.16
Laske (2i)1/2 ja (−16)1/4.
Koska |2i|=2 ja Arg(2i)=π2,
missä k=0 tai k=1. Erilliset juuret ovat siis
Vastaavasti |−16|=16 ja Arg(−16)=π, joten
missä k∈{0,1,2,3}. Erilliset juuret ovat siis
Jos reaaliluvut voidaan ajatella kompleksilukuina, niin miksi sitten positiivisten reaalilukujen juuri on yksikäsitteinen ja kompleksilukujen ei? Soveltamalla määritelmää 1.4.12 esimerkiksi reaalilukuun 64 nähdään, että
Positiivisen reaaliluvun a tapauksessa joukko a1/n sisältää aina positiivisen reaaliluvun, ja reaalisen juurifunktion määritelläänkin saavan arvokseen aina tämä positiivinen juuri.
Edellä on kyse myös kompleksilukujen juurelle yleistyvästä haaran valinnasta. Juuressa
jokainen kokonaisluvun k arvo määrää juurelle eri arvon, eli juuren haaran. Jokaista lukua k∈{0,1,2,…,n−1} vastaamaan voitaisiinkin kirjoittaa yksikäsitteinen juuri
Erityisasema voidaan antaa juurelle z1/n0, eli tapaukselle k=0. Tätä kutsutaan juuren päähaaraksi. Koska positiivisen reaaliluvun a itseisarvo |a|=a ja eräs argumentti on 0, niin
eli positiivisen reaaliluvun kompleksisen juuren päähaara vastaa sen reaalista juurta.
- Kompleksiluvut muodostavat kunnan (C,+,⋅).
- Imaginaariyksikön neliö i2=−1.
- Liittoluku ¯z=Re(z)−iIm(y) ja itseisarvo |z|=z¯z=√Re(z)2+Im(z)2.
- Kompleksiluvut toteuttavat kolmioepäyhtälön ||z1|−|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.
- Ehto z(t)=x(t)+iy(t) parametrisoi kompleksitason tien, jos x ja y ovat jatkuvia reaalifunktioita.
- Jordanin käyrä on sulkeutuva itseään leikkaamaton tie.
- Kompleksiluvun juuret on helpointa määrittää napakoordinaattiesityksen avulla.