Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Tämä kurssi on jo päättynyt.

Napakoordinaattiesitys ja juuret

Koska kompleksitaso voidaan samastaa karteesisen tason R2 kanssa, kompleksiluvuille saadaan napakoordinaattiesitys samaan tapaan kuin reaalilukupareillekin. Jos (x,y)R2 ja r=x2+y2>0, niin on olemassa täyden kierroksen 2π monikerran lisäystä vaille yksikäsitteinen kulma ϕ, jolle

(1){x=rcos(ϕ)y=rsin(ϕ).

Kuvan 1.4.1 suorakulmaisesta kolmiosta nähdään, että ϕ (tai ϕ+k2π, missä kZ) on vektorin (x,y) ja x-akselin muodostama suunnattu kulma.

../_images/Geometrinentulkinta.svg

Kuva 1.4.1. Kompleksiluvun z0 napakoordinaattiesitys muodostetaan kuten tason R2 pisteen.

Suoralla analogialla siis päätellään, että jos z=x+iyC, niin r=|z| ja ϕ on ehdot (1) toteuttava luvun z argumentti, joille

z=rcos(ϕ)+irsin(ϕ)=r(cos(ϕ)+isin(ϕ)).

Kuten edellä, kulma ϕ on vain luvun 2π monikerran lisäystä vaille yksikäsitteinen. Kaikkia luvun z argumentteja merkitään yhteisesti arg(z), eli jos ϕ on jokin luvun z argumentti, niin arg(z)=ϕ+k2π, missä kZ. Kompleksiluvun argumentti voidaan laskea seuraavasti.

  1. Jos Re(z)=0 ja Im(z)=0, niin arg(z)=arg(0) ei ole määritelty.

  2. Jos Re(z)=0 ja Im(z)0, niin

    arg(z)={π2+k2π,kun Im(z)>0π2+k2π,kun Im(z)<0,kZ.
  3. Jos Re(z)0 ja z=x+iy, niin

    arg(z)={arctan(yx)+k2π,kun x>0π+arctan(yx)+k2π,kun x<0,kZ.

Esimerkki 1.4.1

Olkoon z1=1+i ja z2=3+i. Esitä z1 ja z2 napakoordinaattimuodossa.

Ratkaisu

Nyt |z1|=12+12=2 ja kuvan 1.4.2 muistikolmioiden perusteella esimerkiksi tan(π4)=1=11. Vastaavasti |z2|=2 ja esimerkiksi tan(π6)=13. Siis

z1=2(cos(π4)+isin(π4))jaz2=2(cos(π6)+isin(π6)).

Myös mikä tahansa luvuista π4+k2π, kZ, kuten 7π4 kävisi luvun z1 argumentiksi.

../_images/muistikolmiot.svg

Kuva 1.4.2. Muistikolmiot kulmien π4, π3 ja π6 käsittelyyn.

Jokaiselle kompleksiluvulle z voidaan siis määrittää napakoordinaatit r ja ϕ, mutta näistä argumentti ϕ ei ole yksikäsitteinen. Seuraavan tuloksen todistaminen jätetään harjoitustehtäväksi.

Lause 1.4.2

Kompleksiluvut z1 ja z2 toteuttavat ehdon z1=z2, jos ja vain jos

|z1|=|z2|jaarg(z1)=arg(z2).

Huomautus 1.4.3

Ilmaus arg(z1)=arg(z2) sisältää luvun 2π monikertojen lisäyksen: arg(z1)=ϕ1+k2π ja arg(z2)=ϕ2+l2π joillekin reaaliluvuille ϕ1 ja ϕ2, sekä kokonaisluvuille k ja l. Yhtäpitävästi voitaisiin sanoa, että ϕ1=ϕ2+m2π jollekin kokonaisluvulle m.

Koska kompleksiluvun argumentti on tähän tapaan 2π-jaksollinen suure, sen arvo millä tahansa puoliavoimella 2π-pituisella välillä on yksikäsitteinen. Sen vuoksi seuraava määritelmä on järkevä.

Määritelmä 1.4.4

Kompleksiluvun z pääargumentti Arg(z)=ϕ, jos ϕ=arg(z) ja π<ϕπ.

Mikä tahansa kompleksiluvun z argumentti voidaan esittää pääargumentin avulla muodossa arg(z)=Arg(z)+k2π jollakin kokonaisluvulla k.

Pohdi 1.4.5

Lukujen z1=1+i ja z2=3+i tulon ja osamäärän napakoordinaattiesitykset ovat

z1z2=22(cos(5π12)+isin(5π12))jaz1z2=22(cos(π12)+isin(π12)).

Vertaa näitä esimerkin 1.4.1 tuloksiin. Mitä luvun itseisarvolle ja argumentille tapahtuu jako- ja kertolaskuissa?

Pohditaan sitten napakoordinaattiesityksen hyödyllisiä seurauksia. Erityisesti kompleksilukujen kerto- ja jakolaskulle löytyy helpot tulkinnat itseisarvojen ja argumenttien avulla.

Lemma 1.4.6 (Kerto- ja jakolasku napakoordinaattimuodossa)

Olkoot z1=r1(cos(ϕ1)+isin(ϕ1)) ja z2=r2(cos(ϕ2)+isin(ϕ2)). Tällöin

  1. z1z2=r1r2(cos(ϕ1+ϕ2)+isin(ϕ1+ϕ2)),
  2. z1z2=r1r2(cos(ϕ1ϕ2)+isin(ϕ1ϕ2)).
Todistus

Todistetaan lause hyödyntämällä reaalisen sinin ja kosinin summakaavoja

sin(ϕ1+ϕ2)=cos(ϕ1)sin(ϕ2)+cos(ϕ2)sin(ϕ1)

ja

cos(ϕ1+ϕ2)=cos(ϕ1)cos(ϕ2)sin(ϕ1)sin(ϕ2).

Huomaa, että tässä sini ja kosini ovat reaalifunktioita, joiden ominaisuudet oletetaan tunnetuiksi.

Suoralla laskulla nähdään, että

z1z2=r1(cos(ϕ1)+isin(ϕ1))r2(cos(ϕ2)+isin(ϕ2))=r1r2(cos(ϕ1)cos(ϕ2)sin(ϕ1)sin(ϕ2)+i(cos(ϕ1)sin(ϕ2)+cos(ϕ2)sin(ϕ1)))=r1r2(cos(ϕ1+ϕ2)+isin(ϕ1+ϕ2)).

Näin ensimmäinen kohta on todistettu. Koska

z12=1r2(cos(ϕ2)+isin(ϕ2))=1r2cos(ϕ2)isin(ϕ2)cos2(ϕ2)+sin2(ϕ2)=1r2(cos(ϕ2)isin(ϕ2)),

toinen kohta seuraa ensimmäisestä.

Geometrisesti edellinen lemma sanoo, että kompleksilukujen kertolaskussa niiden itseisarvot kerrotaan keskenään ja argumentit lisätään toisiinsa. Vastaavasti jakolaskussa määritetään itseisarvojen osamäärä ja argumenttien erotus. Tätä voidaan havainnollistaa kuvan 1.4.3 tapaan.

../_images/Kertolaskuntulkinta.svg

Kuva 1.4.3. Kompleksiluvulla kertominen skaalaa itseisarvoa ja lisää vakion argumenttiin.

Tästä tuloksesta seuraa välittömästi, että kaikille kompleksiluvuille z1 ja z2 on voimassa

arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2)jaarg(z1z2)=arg(z1)arg(z2).

Kumpikaan näistä ei ole yleisesti voimassa pääargumentille. Vastaesimerkiksi käy z1=1 ja z2=1+i. Lisäksi luvun z=r(cos(ϕ)+isin(ϕ)) liittoluvun napakoordinaattiesitys on

¯z=r(cos(ϕ)isin(ϕ))=r(cos(ϕ)+isin(ϕ)),

joten arg(¯z)=arg(z).

Pohdi 1.4.7

Onko Arg(¯z)=Arg(z) kaikille kompleksiluvuille z?

Lemman 1.4.6 kaavoista seuraa induktiolla ja parin erityistapauksen käsittelyllä yksinkertainen laskukaava myös kompleksiluvun potensseille.

Seuraus 1.4.8 (De Moivren kaava)

Olkoon z=r(cos(ϕ)+sin(ϕ)) ja nZ. Tällöin

zn=rn(cos(nϕ)+isin(nϕ)).

Esimerkki 1.4.9

Olkoon z1=1+i ja z2=3+i. Lasketaan

z=(1+i)50(3+i)27.

Esimerkistä 1.4.1 muistetaan, että

z1=2(cos(π4)+isin(π4)),z2=2(cos(π6)+isin(π6)),

joten De Moivren kaavan avulla saadaan

z501=250(cos(50π4)+isin(50π4))=225(cos(25π2)+isin(25π2)),z272=227(cos(27π6)+isin(27π6))=227(cos(9π2)+isin(9π2)).

Lemman 1.4.6 nojalla siis

(1+i)50(3+i)27=225227(cos(2592π)+isin(2592π))=14.

Esimerkki 1.4.10

Olkoon z=r(cos(ϕ)+isin(ϕ)). Tiedon arg(¯z)=arg(z) avulla voidaan osoittaa, että

z¯z=r2(cos(ϕϕ)+isin(ϕϕ))=r2=|z|2.

Esimerkki 1.4.11

Napakoordinaattiesityksen ja De Moivren kaavan avulla voidaan laskea kaikki ne luvut w, jotka toteuttavat yhtälön w5=2i. Merkitään w=r(cos(ϕ)+isin(ϕ)), jolloin De Moivren kaavan nojalla

w5=r5(cos(5ϕ)+isin(5ϕ)).

Merkitsemällä 2i=2(cos(π2)+isin(π2)) ja hyödyntämällä lausetta 1.4.2 päätellään, että w5=2i täsmälleen silloin, kun

r5=2ja5ϕ=π2+k2π

jollakin kokonaisluvulla k. Edelleen siis

r=52jaϕ=π10+k2π5

jollakin kokonaisluvulla k. Merkitään ϕk=π10+k2π5. Äkkiseltään voi vaikuttaa siltä, että ratkaisuja on ääretön määrä, mutta todellisuudessa kokonaisluvun k kasvattaminen johtaa toistuviin ratkaisuihin:

ϕk+5ϕk=π10π10+(k+5k)2π5=2π,

joten jokaisella kokonaisluvulla k argumentit ϕk+5 ja ϕk vastaavat samaa kompleksilukua w. Erilliset ratkaisut vastaavat siis viittä peräkkäistä kokonaisluvun k arvoa, ja ne voidaan valita vapaasti esimerkiksi luvusta 0 alkaen. Yhtälön ratkaisut ovat siis

w=52(cos(π10+k2π5)+isin(π10+k2π5)),k{0,1,2,3,4}.

Näitä lukuja yhdessä kutsutaan luvun 2i viidensiksi juuriksi.

Esimerkissä 1.4.11 laskettiin yhteensä viisi ratkaisua yhtälölle w5=2i. Vastaavuus ratkaisujen lukumäärän ja eksponentin välillä ei ole sattumaa, ja yleisesti kompleksilukuyhtälöllä wn=z on n kappaletta erillisiä ratkaisuja.

Määritelmä 1.4.12

Oletetaan, että zC ja nN. Niitä lukujen w joukkoa, jotka toteuttavat yhtälön wn=z kutsutaan luvun z n:ksi juuriksi ja merkitään

z1/n={wCwn=z}.

Huomautus 1.4.13

Reaalilukujen joukossa on mahdollista määritellä luvun n:s juuri luontevalla tavalla yksikäsitteisesti. Kompleksilukujen joukossa tämä ei onnistu (ainakaan yhtä luontevasti), joten reaaliluvun ja kompleksiluvun juurille varataan eri merkinnät. Reaaliluvun a juurta merkitään na ja kompleksiluvun a juurta a1/n.

Lisäksi merkintä z1/n tarkoittaa määritelmän mukaan luvun z n:sien juurten joukkoa, mutta joissakin tapauksissa sillä tarkoitetaan myös tämän joukon alkioita.

Juurten ratkaiseminen ja niiden lukumäärä voidaan muotoilla yhdessä De Moivren kaavan seurauksena.

Seuraus 1.4.14

Olkoon z=r(cos(ϕ)+isin(ϕ)), missä r0, ϕ=Arg(z) ja nN. Tällöin

z1/n={nr(cos(ϕ+k2πn)+isin(ϕ+k2πn))|k{0,1,2,,n1}}.
Todistus

Merkitään w=s(cos(θ)+isin(θ)), jolloin De Moivren kaavan nojalla wn=z täsmälleen silloin, kun

sn=rjanθ=ϕ+k2π

jollakin kokonaisluvulla k. Siis

s=nrjaθ=ϕ+k2πn,

missä kZ. Merkitsemällä θk=1n(ϕ+k2π) nähdään, että

θk+nθk=1n(ϕ+(k+n)2π(ϕ+k2π))=2π,

joten

wk+n=s(cos(θk+n)+isin(θk+n))=s(cos(θk)+isin(θk))=wk.

Toisaalta θk+mθk aina, kun kZ ja m{0,1,2,,n1}, joten erilliset ratkaisut voidaan esittää muodossa

w=nr(cos(ϕ+k2πn)+isin(ϕ+k2πn)),

missä k{0,1,2,,n1}.

Esimerkki 1.4.15

Lasketaan kaikki luvun z=883i neljännet juuret. Piirtämällä z vektorina kompleksitasoon nähdään, että Arg(z)=2π3 ja että

r=|z|=(82)+(83)2=16.

Täten seurauksen 1.4.14 nojalla

(883i)1/4=416(cos(2π3+k2π4)+isin(2π3+k2π4))=2(cos(π6+kπ2)+isin(π6+kπ2)).

Tämä lauseke voidaan tulkita kahden kompleksiluvun tulona seuraavasti:

(883i)1/4=2(cos(π6)+isin(π6))(cos(kπ2)+isin(kπ2)),=(3i)ik,

missä k{0,1,2,3}. Siis erilliset juuret perusmuodossa ovat

w0=3i,w1=1+3i,w2=3+ijaw3=13i.

Juurten piirtäminen kompleksitason pisteiksi kuvan 1.4.4 tapaan paljastaa, kuinka ne todella ovat origokeskisen ympyrän kehällä tasaisin välein.

../_images/JuuriEsim.svg

Kuva 1.4.4. Luvun 883i neljännet juuret.

Esimerkki 1.4.16

Laske (2i)1/2 ja (16)1/4.

Ratkaisu

Koska |2i|=2 ja Arg(2i)=π2,

(2i)1/2=2(cos(π/2+k2π2)+isin(π/2+k2π2))=2(cos(π4)+isin(π4))(cos(kπ)+isin(kπ))=(1)k(1+i),

missä k=0 tai k=1. Erilliset juuret ovat siis

w0=1+ijaw1=1i.

Vastaavasti |16|=16 ja Arg(16)=π, joten

(16)1/4=416(cos(π+k2π4)+isin(π+k2π4))=2(cos(π4)+isin(π4))(cos(kπ2)+isin(kπ2))=ik2(1+i),

missä k{0,1,2,3}. Erilliset juuret ovat siis

w0=2(1+i),w1=2(1+i),w2=2(1i)jaw3=2(1i).

Jos reaaliluvut voidaan ajatella kompleksilukuina, niin miksi sitten positiivisten reaalilukujen juuri on yksikäsitteinen ja kompleksilukujen ei? Soveltamalla määritelmää 1.4.12 esimerkiksi reaalilukuun 64 nähdään, että

641/2={wCw2=64}={8,8}ja641/3={wCw3=64}={4,2±i23}.

Positiivisen reaaliluvun a tapauksessa joukko a1/n sisältää aina positiivisen reaaliluvun, ja reaalisen juurifunktion määritelläänkin saavan arvokseen aina tämä positiivinen juuri.

Edellä on kyse myös kompleksilukujen juurelle yleistyvästä haaran valinnasta. Juuressa

z1/n={nr(cos(ϕ+k2πn)+isin(ϕ+k2πn))|k{0,1,2,,n1}}

jokainen kokonaisluvun k arvo määrää juurelle eri arvon, eli juuren haaran. Jokaista lukua k{0,1,2,,n1} vastaamaan voitaisiinkin kirjoittaa yksikäsitteinen juuri

z1/nk=nr(cos(ϕ+k2πn)+isin(ϕ+k2πn)).

Erityisasema voidaan antaa juurelle z1/n0, eli tapaukselle k=0. Tätä kutsutaan juuren päähaaraksi. Koska positiivisen reaaliluvun a itseisarvo |a|=a ja eräs argumentti on 0, niin

a1/n0=na(cos(0n)+isin(0n))=na,

eli positiivisen reaaliluvun kompleksisen juuren päähaara vastaa sen reaalista juurta.

  • Kompleksiluvut muodostavat kunnan (C,+,).
  • Imaginaariyksikön neliö i2=1.
  • Liittoluku ¯z=Re(z)iIm(y) ja itseisarvo |z|=z¯z=Re(z)2+Im(z)2.
  • Kompleksiluvut toteuttavat kolmioepäyhtälön ||z1||z2|||z1±z2||z1|+|z2|.
  • Ehto z(t)=x(t)+iy(t) parametrisoi kompleksitason tien, jos x ja y ovat jatkuvia reaalifunktioita.
  • Jordanin käyrä on sulkeutuva itseään leikkaamaton tie.
  • Kompleksiluvun juuret on helpointa määrittää napakoordinaattiesityksen avulla.
Palautusta lähetetään...