\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Määrätty integraali

Tässä luvussa esitellään keskeiset tulokset liittyen kompleksisiin integraaleihin. Kompleksinen integraali määritellään käyräintegraalina yli integroimistien \(S\) käyttäen hyväksi integroimistien parametrisointia. Lisäksi tuloksissa esiintyy runsaasti kompleksitason geometriaan ja topologiaan liittyviä käsitteitä. Kannattaa siis varmistaa, että osaat nämä asiat.

Tässä materiaalissa keskitytään erityisesti eräässä mielessä mukaviin integroimisteihin, jotka ovat sileitä tai koostuvat äärellisestä määrästä sileitä teitä. Tämä mahdollistaa integraalin palauttamisen reaalisiksi integraaleiksi ja vältytään käyttämästä Riemannin summien tyylistä määrittelyä, jonka voi löytää useista teksteistä. Teorian kannalta tämä ei kuitenkaan ole merkittävä rajoite.

Määritelmä antaa lähtökohdan tutkia integraaleja, mutta sitä joutuu harvoin kuitenkaan käyttämään niiden laskemiseen. Usein vaikealtakin tuntuva integrointi voidaan suorittaa yksinkertaisesti käyttäen luvussa esiteltäviä keskeisiä tuloksia, joita ovat analyysin peruslause, Cauchy-Goursat’n lause, deformaatiolause ja Cauchyn integraalikaavat. Myöhemmin sarjateorian avulla saadaan käyttöön vielä residyt integraalien laskemista helpottamaan.

Integraalien laskeminen on hyvä tapa tutustua esiteltyihin lauseisiin ja niihin liittyviin oletuksiin, mikä onkin tässä materiaalissa varsin suuressa roolissa. Kannattaa kuitenkin pitää mielessä, että varsinaisesti integraalien merkitys on niiden sovelluksissa ja teoreettisissa seurauksissa, joihin ei tällä kurssilla ehditä valitettavasti tutustua syvemmin. Esimerkkeinä integraaleja koskevien tulosten seurauksista esitellään Liouvillen lause ja algebran peruslause, jotka seuraavat helposti Cauchyn integraalikaavoista. Osa tuloksista otetaan käyttöön ilman todistusta. Tämä kompromissi on tehty, jotta materiaali pysyy aineopintokurssin tasoisena. Todistettavat tulokset on valittu lähinnä sen perusteella, että ne demonstroivat kuinka kurssin teoreettisia tuloksia voi käyttää uusien teoreettisten tulosten johtamiseen. Toisaalta ne tarjoavat lukijalle teoreettista haastetta.

Kompleksinen integraali määritellään viivaintegraalina (käytetään myös termiä käyräintegraali) yli integroimistien \(S\) palauttamalla se parametrisoinnin avulla reaalimuuttujan integraaliksi. Tutustutaan ennen varsinaista määritelmää reaalimuuttujan kompleksiarvoisten funktioiden integraaliin.

Määritelmä 4.1.1

Olkoot \(x, y : [a, b] \to \R\) Riemann-integroituvia funktioita. Reaalimuuttujan funktion \(f : [a, b] \to \C\), \(f(t)=x(t)+\im y(t)\) määrätty integraali yli välin \([a, b]\) on

\[\int_a^b f(t)\,\rd t=\int_a^b x(t)\,\rd t+\im \int_a^b y(t)\,\rd t,\]

missä oikean puolen integraalit ovat tavallisia reaalisia integraaleja.

Huomautus 4.1.2

Käsiteltävät reaaliset integraalit ovat Riemann-integraaleja ja niitä voi laskea tavalliseen tapaan. Teorian kannalta kuitenkin voitaisiin käyttää yleisempiä integraaleja, kuten Lebesguen integraalia.

Esimerkki 4.1.3

Funktion \(f(t)=t^2+t\cos(t)\im\) integraali yli välin \([0,\pi]\) on

\[\int_0^\pi f(t)\,\rd t = \int_0^\pi t^2+\im \int_0^\pi t\cos(t)\,\rd t = \frac{\pi^3}{3}+\im\left(\sij{0}{\pi} t\sin(t)-\int_0^\pi \sin(t)\,\rd t\right)=\frac{\pi^3}{3}-2\im.\]

Määritellään seuraavaksi kompleksinen integraali. Määritelmässä palautetaan kompleksinen integraali reaalimuuttujan integraaliksi käyrän parametrisoinnin avulla.

Määritelmä 4.1.4

Olkoon \(S\) kompleksitason sileä tie, jolla on parametrisointi \(z(t)\), \(t \in [a, b]\), ja oletetaan, että funktio \(f : S \to \C\) on jatkuva. Kompleksimuuttujan funktion \(f\) kompleksinen (määrätty) integraali sileällä tiellä \(S\) on

\[\int_S f(z)\,\rd z = \int_a^b f(z(t))z'(t)\,\rd t.\]

Jos \(S\) on sileistä teistä \(S_1, S_2, \ldots, S_n\) koostuva paloittain sileä tie ja \(f\) on jokaisella niistä erikseen jatkuva, niin

\[\int_S f(z)\,\rd z=\int_{S_1} f(z)\,\rd z+\int_{S_2} f(z)\,\rd z+\cdots+\int_{S_n} f(z)\,\rd z.\]

Kompleksisen integraalin palautus viivaintegraaliin voidaan ajatella myös sijoituksena \(z = z(t)\), missä \(z(t)\) on integrointitien \(S\) parametrisointi. Tällöin formaalisti \(z'(t) = \frac{\rd z}{\rd t}\), eli \(\rd z = z'(t)\,\rd t\). Voidaan osoittaa, että integraalin arvo ei riipu tien \(S\) parametrisoinnista (suunnasta kylläkin), joten se on hyvin määritelty.

Huomautus 4.1.5

Kompleksisella integraalilla ei ole samanlaista mukavaa pinta-alatulkintaa kuin reaalisilla määrätyillä integraaleilla. Tässä kohtaa kannattaakin hyväksyä määritelmä sellaisenaan. Jotkut kirjoittajat, kuten Zill ja Shanahan (2003), esittävät tässä annetun määritelmän Riemannin summia muistuttavan määritelmän seurauksena. Koska tällä kurssilla käsitellään vain paloittain sileitä käyriä, niin tälle teoreettisesti hankalalle määritelmälle ei ole tarvetta.

Tarkastellaan sitten kuinka kompleksinen integraali voidaan palauttaa kahdeksi reaaliseksi integraaliksi. Kirjoitetaan \(f(z)=u(z)+\im v(z)\) ja \(z(t)=x(t)+\im y(t)\), jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} f(z(t))z'(t) & = (u(z(t))+\im v(z(t)))(x'(t)+\im y'(t)) \\ & =u(z(t))x'(t)-v(z(t))y'(t)+\im (u(z(t))y'(t)+v(z(t))x'(t)), \end{aligned}\end{split}\]

tai lyhyesti \(f(z)z' = ux' - vy' + \im(uy' + vx')\). Täten

\[\int_a^b f(z(t))z'(t)\,\rd t = \int_a^b (ux'-vy')\,\rd t+\im \int_a^b (uy'+vx')\,\rd t,\]

joista toinen antaa integraalin reaali- ja toinen imaginaariosan. Tästä seuraa, että reaaliosan (imaginaariosan) oton voi viedä integraalin sisään, sillä

(1)\[\real\left(\int_S f(z)\,\rd z\right)=\int_a^b (ux'-vy')\,\rd t=\int_a^b \real(f(z(t))z'(t)\,\rd t.\]

Integraalin laskeminen määritelmän avulla on suoraviivaista, mikäli annetun funktion reaali- ja imaginaariosat on helppo löytää ja parametrisointi on annettu (esimerkki 4.1.6). Toisaalta hiukankin monimutkaisemmissa tilanteissa määritelmään liittyvät reaaliset integraalit ovat useimmiten vähintään hankalia laskettaviksi. Jos integroimistien parametrisointia ei ole annettu, sellainen joudutaan etsimään (esimerkki 4.1.7).

Esimerkki 4.1.6

Lasketaan integraali \(\int_S f(z)\,\rd z\), kun \(f(z)=2\overline{z}-z\) ja integrointitiellä \(S\) on parametrisointi \(z(t)=-t+\im(t^2+2)\), \(t\in[0,2]\). Ensinnäkin parametrisoinnin derivaatta \(z'(t)=-1+2t\im\). Tehdään integraalin määritelmän mukaiset sijoitukset \(z = z(t)\) ja \(\rd z = z'(t)\rd t\), jolloin

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_S f(z)\,\rd z & =\int_0^2 f(z(t))z'(t)\,\rd t =\int_0^2 \left(2(\overline{-t+\im(t^2+2)})+t-\im(t^2+2)\right)(-1+2t\im)\, \rd t\\ & =\int_0^2 (-t-3\im(t^2+2))(-1+2t\im)\, \rd t =\int_0^2 6t^3+13t+\im(t^2+6)\, \rd t\\ & =\int_0^2 6t^3+13t\rd t+\im\int_0^2 t^2+6\, \rd t =\sij{0}{2} \frac{3}{2}t^4+\frac{13}{2}t^2 + \im\sij{0}{2} \frac{1}{3}t^3+6t \\ & =50 + \frac{44}{3}\im. \end{aligned}\end{split}\]

Esimerkki 4.1.7

Lasketaan integraali \(\int_S z^2\,\rd z\), kun \(S\) on vastapäivään suunnistettu yksikköympyrä. Integrointitien eräs parametrisointi on

\[z(t) = \e^{\im t}, \qquad t \in [-\pi, \pi],\]

ja tällä tiellä \(\rd z = z'(t)\,\rd t = \im\e^{\im t}\). Niinpä integraali

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_S z^2\,\rd z &= \int_{-\pi}^{\pi}\e^{2\im t} \cdot \im\e^{\im t}\,\rd t =\int_{-\pi}^{\pi}\im\e^{3\im t}\,\rd t =\int_{-\pi}^{\pi}\im(\cos(3t)+\im \sin(3t))\,\rd t \\ & =\int_{-\pi}^{\pi} -\sin(3t)\,\rd t+\im\int_{-\pi}^{\pi}\cos(3t)\,\rd t = 0. \end{aligned}\end{split}\]

Myöhemmin kyseisen integraalin arvon voi päätellä nollaksi analyysin peruslauseen tai Cauchy-Goursat’n lauseen nojalla.

Lemma 4.1.8

Olkoon \(S\) \(z_0\)-keskinen \(r\)-säteinen ympyrä \(\{z\in\C \mid |z-z_0|=r\}\). Tällöin \(\int_S \frac{\rd z}{z-z_0} = 2\pi\im\).

Todistus

Valitaan tien \(S\) parametrisoinniksi \(z(t)=z_0+r\e^{\im t}\), \(t\in[0,2\pi]\). Nyt \(\rd z=r\im \e^{\im t}\,\rd t\), joten

\[\int_S \frac{\rd z}{z-z_0}=\int_0^{2\pi} \frac{r\im \e^{\im t}}{r\e^{\im t}}\,\rd t=\im \int_0^{2\pi} \,\rd t = 2\pi\im.\qedhere\]

Kompleksisella integraalilla on reaalisista integraaleista tutut perusominaisuudet. Sääntöä

\[\int_a^b f(x)\,\rd x = \int_a^c f(x)\,\rd x + \int_c^b f(x)\,\rd x\]

vastaava kompleksisten integraalien laskusääntö seuraa määritelmästä. Seuraavassa tuloksessa todetaan, että kompleksinen integraali toteuttaa vastaavat lineaarisuusominaisuudet kuin reaalinen integraalikin. Jälkimmäinen tuloksista on analogia määrätyn integraalin rajojen vaihtamiselle. Tulosten todistus on suoraviivaista määritelmän avulla.

Lemma 4.1.9

Olkoon \(S\) kompleksitason sileä tie, funktiot \(f, g : S \to \C\) jatkuvia, sekä \(\alpha\) ja \(\beta\) kompleksilukuja. Merkitään vastakkaiseen suuntaan suunnistettua tietä \(-S\). Tällöin

1. \(\displaystyle \int_S \left(\alpha f(z)+\beta g(z)\right)\,\rd z = \alpha\int_S f(z)\,\rd z + \beta \int_S g(z)\,\rd z\),
2. \(\displaystyle \int_{-S} f(z)\,\rd z = -\int_S f(z)\,\rd z\).

Käsitellään lopuksi vielä tärkeä kompleksisten integraalien (itseisarvon) suuruutta koskeva arvio funktion itseisarvon ja integroimistien pituuden avulla. Kompleksitason tien pituus määritellään samaan tapaan kuin tason käyrän pituus.

Määritelmä 4.1.10

Olkoon \(S\) kompleksitason sileä tie, jolla on parametrisointi \(z(t)\), \(t \in [a, b]\). Tien \(S\) pituus \(L\) on integraali

\[L = \int_a^b |z'(t)|\,\rd t.\]

Jos \(S\) on sileistä teistä \(S_1, S_2, \ldots, S_n\) koostuva paloittain sileä tie ja tiellä \(S_k\) on parametrisointi \(z_k(t)\), \(t \in [a_{k - 1}, a_k]\), \(k = 1, 2, \ldots, n\), niin

\[L = \sum_{k = 1}^{n}\int_{a_{k - 1}}^{a_k}|z_k'(t)|\,\rd t.\]

Esimerkki 4.1.11

Lasketaan \(r\)-säteisen ympyrän kehän pituus. Voidaan olettaa, että keskipiste on origossa (miksi?), jolloin sileällä ympyrän kehällä on parametrisointi

\[z(t)=r\e^{\im t}=r\cos(t)+\im r\sin(t), \qquad t\in[0,2\pi].\]

Nyt

\[|z'(t)| = \left|-r\sin(t) + \im r\cos(t)\right| = \sqrt{r^2\sin^2(t) + r^2\cos^2(t)} = r,\]

joten kehän pituus on

\[L=\int_0^{2\pi}|z'(t)|\,\rd t = \int_0^{2\pi} r\,\rd t = 2\pi r.\]

Lemma 4.1.12 (ML-lause)

Olkoon \(S\) kompleksitason paloittain sileä tie ja \(f : S \to \C\) sen jokaisella sileällä osalla erikseen jatkuva funktio. Jos joukko \(\{|f(z)| \mid z \in S\}\) on rajoitettu, niin

\[\left|\int_S f(z)\,\rd z\right|\leq ML,\]

missä \(M = \max\limits_{z\in S}|f(z)|\) on funktion \(|f(z)|\) suurin arvo tiellä \(S\) ja \(L\) on tien \(S\) pituus.

Todistus

Olkoon \(S\) on sileä tie, jolla on parametrisointi \(z(t)\), \(t \in [a, b]\). Koska integraali on joku yksikäsitteinen kompleksiluku, niin se voidaan esittää polaarimuodossa

\[\int_S f(z)\,\rd z = \left|\int_S f(z)\,\rd z\right|\e^{\im\phi}\]

missä \(\phi\) on jokin argumentin arvo. Siis

\[\left|\int_S f(z)\,\rd z\right| = \e^{-\im\phi}\int_S f(z)\,\rd z = \int_S \e^{-\im\phi}f(z)\,\rd z.\]

Toisaalta integraalin itseisarvo on reaaliluku, joten kaavan (1) nojalla

\[\left|\int_S f(z)\,\rd z\right| = \real\left(\left|\int_S f(z)\,\rd z\right|\right) = \real\left(\int_S \e^{-\im\phi}f(z)\,\rd z\right) = \int_a^b \real\left(\e^{-\im\phi}f(z(t))z'(t)\right)\,\rd t.\]

Huomataan, että \(\real\left(\e^{-\im\phi}f(z(t))z'(t)\right) \leq |f(z(t))z'(t)|\) ja \(|f(z(t))|\leq M\), joten viimeistä reaalista integraalia arvioimalla saadaan

\[\left|\int_S f(z)\,\rd z\right| \leq \int_a^b \real\left(\e^{-\im\phi}f(z(t))z'(t)\right)\,\rd t\leq \int_a^b M|z'(t)|\,\rd t=M\int_a^b |z'(t)|\,\rd t=ML.\]

Yllä on käytetty reaalisen integraalin ominaisuutta

\[\int_a^b g(t)\, \rd t\leq \int_a^b h(t)\, \rd t, \qquad\text{jos}\qquad g(t)\leq h(t), \text{ kun } t \in [a, b].\]

Väitteen yleistäminen paloittain sileille teille on suoraviivainen lemman 4.1.9 ja kolmioepäyhtälön sovellus.

Esimerkki 4.1.13

Osoitetaan, että

\[\left|\int_S \frac{\e^z}{\overline{z}^2}\, \rd z\right|\leq \frac{\pi}{4},\]

kun \(S\) on ympyrän \(|z|=2\) imaginaariakselin vasemmalle puolelle jäävä puolikas. Nyt integroimistie on \(2\)-säteisen puoliympyrän kaari, joten sen pituus on \(\pi\). Arvioidaan vielä integroitavan funktion itseisarvoa integroimistiellä. Koska \(\real(z) \leq 0\), kun \(z\in S\), niin \(|\e^z|=\e^{\real(z)} \leq 1\). Toisaalta integroimistiellä \(4=|z|^2=|\overline{z}^2|\), joten \(|\e^{z}/\overline{z}^2| \leq \frac{1}{4}\), kun \(z \in S\) ja ML-lauseen nojalla

\[\left|\int_S \frac{\e^z}{\overline{z}^2}\, \rd z\right|\leq \frac{1}{4}\cdot \pi.\]

Palautusta lähetetään...