- MATH.APP.440
- 4. Kompleksinen integraali
- 4.2 Cauchy-Goursatin lause ja deformaatio
Cauchy-Goursatin lause ja deformaatio¶
Seuraava lause on tärkeä kompleksianalyysin teoreettinen työkalu ja jatkossa sitä käytetään useasti. Lauseen todistus on varsin pitkä ja jätämme käymättä sen läpi ajan säästämiseksi. Kiinnostunut lukija voi tutustua todistukseen esimerkiksi Zillin ja Shanahanin (2003) liitteestä II. Usein lauseesta esitetään Cauchyn integraalilauseen nimellä kulkeva versio, jossa oletetaan derivaatan jatkuvuus. Tämän lauseen todistus on paljon yksinkertaisempi ja onnistuu käyttäen Greenin lausetta. Myöhemmin havaitaan, että analyyttisen funktion f derivaatta f′ on aina analyyttinen, ja siten myös jatkuva, mutta kehäpäätelmien välttämiseksi tätä oletusta ei voida tehdä vielä.
Lause 4.2.1 (Cauchy-Goursat’n lause)
Olkoon f:A→C analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa A. Jos S⊆A on paloittain sileä Jordanin käyrä, niin ∫Sf(z)dz=0.
Nyt monien integraalien laskeminen muuttuu jopa triviaaliksi.
Esimerkki 4.2.2
Esimerkissä 4.1.7 laskettiin integraaliksi ∫Sz2dz=0, kun S on yksikköympyrä. Nyt z2 on analyyttinen sileän Jordanin käyrän S sisältävässä yhdesti yhtenäisessä alueessa C, joten sama voidaan päätellä suoraan Cauchy-Goursat’n lauseen avulla.
Esimerkki 4.2.3
Laske integraali ∫S1cos(z2)dz, missä S on yksikköympyrä |z|=1.
Funktiot 1 ja cos(z2) ovat kokonaisia funktioita, joten ainoat pisteet, joissa 1/cos(z2) ei ole analyyttinen, ovat funktion cos(z2) nollakohdat. Esimerkin 2.3.11 nojalla cos(z2)=0 täsmälleen silloin, kun
Origoa lähimpänä olevat nollakohdat ovat ±√π2 ja ±i√π2, mutta koska √π2>1, ne jäävät integroimistien ulkopuolelle. Funktio 1/cos(z2) on siis analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa, joka jää sileän integroimistien S sisäpuolelle. Niinpä Cauchy-Goursat’n lauseen nojalla
Cauchy-Goursat’n lauseesta seuraa, että integroimistie kahden pisteen välillä voidaan valita vapaasti, kunhan vain integroitava funktio on analyyttinen näiden kahden tien väliin jäävässä alueessa. Järkevä valinta on usein yksinkertaisin mahdollinen integroimistie, kuten jana tai z0-keskinen pieni ympyrä.
Lemma 4.2.4
Oletetaan, että A on yhdesti yhtenäinen alue ja että z1,z2∈A. Jos f:A→C on analyyttinen alueessa A ja S⊆A on pisteet z1 ja z2 yhdistävä paloittain sileä tie, niin integraalin ∫Sf(z)dz arvo ei riipu tien S valinnasta.
Olkoot S1 ja S2 kaksi pisteen z1 pisteeseen z2 yhdistävää paloittain sileää tietä. Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että ne eivät leikkaa toisiaan. Kulkemalla ensin pisteestä z1 pisteeseen z2 tietä S1 pitkin ja sen jälkeen takaisin pisteeseen z2 tietä −S2 pitkin muodostuu paloittain sileä sulkeutuva tie S. Niinpä Cauchy-Goursat’n lauseen nojalla
eli ∫S1f(z)dz=∫S2f(z)dz.
Pohdi 4.2.5
Miksi todistuksessa voidaan olettaa, että S1 ja S2 eivät leikkaa toisiaan?
Cauchy-Goursatin lause mahdollistaa vastaavasti myös suljetun integroimistien muodon muuntamisen, eli deformaation, kunhan funktio on analyyttinen vanhan ja uudelleen muovatun integroimistien välissä. Molempien integroimisteiden sisään voi siis jäädä pisteitä, joissa funktio ei ole analyyttinen. Muotoillaan ja todistetaan kyseinen tulos ja sen yleistys seuraavaksi.
Lause 4.2.6 (Deformaatiolause)
Olkoot S1, S2, C1 ja C2 sellaisia Jordanin käyriä (kts. kuva 4.2.1), sekä f sellainen funktio, että
- C1 on käyrien S1, S2 ja C2 ulkopuolella,
- C2 on käyrien S1 ja S2 sisäpuolella,
- S1 ja S2 ovat paloittain sileitä,
- funktio f on analyyttinen käyrien C1 ja C2 välisessä alueessa.
Tällöin
Kuva 4.2.1. Deformaatiolauseeseen liittyvät käyrät (vasen kuva) ja sen todistukseen liittyvä integroimisteiden valinta (oikea kuva).
Oletetaan ensin, että S1 on tien S2 ulkopuolella. Yhdistetään käyrät S1 ja S2 toisiinsa sileillä teillä Γ1 ja Γ2 kuvan 4.2.1 mukaisesti. Muodostetaan yksinkertaiset, paloittain sileät ja suljetut käyrät
Cauchy-Goursat’n lauseen nojalla ∫P1f(z)dz=∫P2f(z)dz=0, joten
mistä tulos seuraa. Jos S1 ja S2 leikkaavat toisensa, niin voidaan valita sellainen sileä integroimistie ˜S1, että se on käyrän C1 sisällä, mutta käyrien S1 ja S2 ulkopuolella. Tällöin edellisen nojalla
Yleistetään deformaatiolause vielä tapaukseen, jossa integroidaankin yhden suuren integroimistien sijaan useamman pienen integroimistien yli. Tämän tuloksen kätevyys tulee ilmi esimerkissä 4.4.6, jossa se yhdessä Cauchyn integraalikaavan kanssa tarjoaa näppärän tavan laskea varsin monimutkainen integraali.
Lause 4.2.7
Olkoot S1,S2,…,Sn paloittain sileitä Jordanin käyriä, jotka eivät leikkaa toisiaan, sekä S sellainen paloittain sileä Jordanin käyrä, että käyrät S1,S2,…,Sn jäävät sen sisäpuolelle. Jos funktio f on analyyttinen käyrillä S,S1,S2,…,Sn ja niiden väliin jäävässä alueessa, niin
Kuva 4.2.2. Integroimisteiden yhdistäminen defomaatiolauseen yleistystä todistettaessa.
Esimerkki 4.2.8
Lasketaan integraali ∫S1zdz, kun S on murtoviiva −i→2−i→1+i→−1+i→−i.
Integraali voitaisiin laskea useassa osassa yli kunkin erillisen janan esimerkiksi määritelmän mukaan. On kuitenkin helpompi huomata, että S on origon ympäri kulkeva paloittain sileä Jordanin käyrä. Koska f on analyyttinen kaikkialla muualla kuin origossa, niin deformaatiolauseen mukaisesti integraalin arvo on sama kuin yksikköympyrän yli integroitaessa. Siis lemman 4.1.8 nojalla ∫S1zdz=2πi.