Processing math: 100%
Tämä kurssi on jo päättynyt.

Cauchy-Goursatin lause ja deformaatio

Seuraava lause on tärkeä kompleksianalyysin teoreettinen työkalu ja jatkossa sitä käytetään useasti. Lauseen todistus on varsin pitkä ja jätämme käymättä sen läpi ajan säästämiseksi. Kiinnostunut lukija voi tutustua todistukseen esimerkiksi Zillin ja Shanahanin (2003) liitteestä II. Usein lauseesta esitetään Cauchyn integraalilauseen nimellä kulkeva versio, jossa oletetaan derivaatan jatkuvuus. Tämän lauseen todistus on paljon yksinkertaisempi ja onnistuu käyttäen Greenin lausetta. Myöhemmin havaitaan, että analyyttisen funktion f derivaatta f on aina analyyttinen, ja siten myös jatkuva, mutta kehäpäätelmien välttämiseksi tätä oletusta ei voida tehdä vielä.

Lause 4.2.1 (Cauchy-Goursat’n lause)

Olkoon f:AC analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa A. Jos SA on paloittain sileä Jordanin käyrä, niin Sf(z)dz=0.

Nyt monien integraalien laskeminen muuttuu jopa triviaaliksi.

Esimerkki 4.2.2

Esimerkissä 4.1.7 laskettiin integraaliksi Sz2dz=0, kun S on yksikköympyrä. Nyt z2 on analyyttinen sileän Jordanin käyrän S sisältävässä yhdesti yhtenäisessä alueessa C, joten sama voidaan päätellä suoraan Cauchy-Goursat’n lauseen avulla.

Esimerkki 4.2.3

Laske integraali S1cos(z2)dz, missä S on yksikköympyrä |z|=1.

Ratkaisu

Funktiot 1 ja cos(z2) ovat kokonaisia funktioita, joten ainoat pisteet, joissa 1/cos(z2) ei ole analyyttinen, ovat funktion cos(z2) nollakohdat. Esimerkin 2.3.11 nojalla cos(z2)=0 täsmälleen silloin, kun

z2=π2+kπ, missä kZ,eliz={±π2+kπ,kun k=0,1,2,±iπ2kπ,kun k=1,2,

Origoa lähimpänä olevat nollakohdat ovat ±π2 ja ±iπ2, mutta koska π2>1, ne jäävät integroimistien ulkopuolelle. Funktio 1/cos(z2) on siis analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa, joka jää sileän integroimistien S sisäpuolelle. Niinpä Cauchy-Goursat’n lauseen nojalla

S1cos(z2)dz=0.

Cauchy-Goursat’n lauseesta seuraa, että integroimistie kahden pisteen välillä voidaan valita vapaasti, kunhan vain integroitava funktio on analyyttinen näiden kahden tien väliin jäävässä alueessa. Järkevä valinta on usein yksinkertaisin mahdollinen integroimistie, kuten jana tai z0-keskinen pieni ympyrä.

Lemma 4.2.4

Oletetaan, että A on yhdesti yhtenäinen alue ja että z1,z2A. Jos f:AC on analyyttinen alueessa A ja SA on pisteet z1 ja z2 yhdistävä paloittain sileä tie, niin integraalin Sf(z)dz arvo ei riipu tien S valinnasta.

Todistus

Olkoot S1 ja S2 kaksi pisteen z1 pisteeseen z2 yhdistävää paloittain sileää tietä. Yleisyyttä rajoittamatta voidaan olettaa, että ne eivät leikkaa toisiaan. Kulkemalla ensin pisteestä z1 pisteeseen z2 tietä S1 pitkin ja sen jälkeen takaisin pisteeseen z2 tietä S2 pitkin muodostuu paloittain sileä sulkeutuva tie S. Niinpä Cauchy-Goursat’n lauseen nojalla

0=Sf(z)dz=S1f(z)dz+S2f(z)dz=S1f(z)dzS2f(z)dz,

eli S1f(z)dz=S2f(z)dz.

Pohdi 4.2.5

Miksi todistuksessa voidaan olettaa, että S1 ja S2 eivät leikkaa toisiaan?

Cauchy-Goursatin lause mahdollistaa vastaavasti myös suljetun integroimistien muodon muuntamisen, eli deformaation, kunhan funktio on analyyttinen vanhan ja uudelleen muovatun integroimistien välissä. Molempien integroimisteiden sisään voi siis jäädä pisteitä, joissa funktio ei ole analyyttinen. Muotoillaan ja todistetaan kyseinen tulos ja sen yleistys seuraavaksi.

Lause 4.2.6 (Deformaatiolause)

Olkoot S1, S2, C1 ja C2 sellaisia Jordanin käyriä (kts. kuva 4.2.1), sekä f sellainen funktio, että

  • C1 on käyrien S1, S2 ja C2 ulkopuolella,
  • C2 on käyrien S1 ja S2 sisäpuolella,
  • S1 ja S2 ovat paloittain sileitä,
  • funktio f on analyyttinen käyrien C1 ja C2 välisessä alueessa.

Tällöin

S1f(z)dz=S2f(z)dz.
../_images/Deformaatio.svg

Kuva 4.2.1. Deformaatiolauseeseen liittyvät käyrät (vasen kuva) ja sen todistukseen liittyvä integroimisteiden valinta (oikea kuva).

Todistus

Oletetaan ensin, että S1 on tien S2 ulkopuolella. Yhdistetään käyrät S1 ja S2 toisiinsa sileillä teillä Γ1 ja Γ2 kuvan 4.2.1 mukaisesti. Muodostetaan yksinkertaiset, paloittain sileät ja suljetut käyrät

P1=S1Γ1S2Γ2,P2=S1Γ2S2Γ1.

Cauchy-Goursat’n lauseen nojalla P1f(z)dz=P2f(z)dz=0, joten

0=P1f(z)dz+P2f(z)dz=S1f(z)dz+Γ1f(z)dz+S2f(z)dz+Γ2f(z)dz+S1f(z)dz+Γ1f(z)dz+S2f(z)dz+Γ2f(z)dz=S1f(z)dzS2f(z)dz,

mistä tulos seuraa. Jos S1 ja S2 leikkaavat toisensa, niin voidaan valita sellainen sileä integroimistie ˜S1, että se on käyrän C1 sisällä, mutta käyrien S1 ja S2 ulkopuolella. Tällöin edellisen nojalla

S1f(z)dz=˜S1f(z)dz=S2f(z)dz.

Yleistetään deformaatiolause vielä tapaukseen, jossa integroidaankin yhden suuren integroimistien sijaan useamman pienen integroimistien yli. Tämän tuloksen kätevyys tulee ilmi esimerkissä 4.4.6, jossa se yhdessä Cauchyn integraalikaavan kanssa tarjoaa näppärän tavan laskea varsin monimutkainen integraali.

Lause 4.2.7

Olkoot S1,S2,,Sn paloittain sileitä Jordanin käyriä, jotka eivät leikkaa toisiaan, sekä S sellainen paloittain sileä Jordanin käyrä, että käyrät S1,S2,,Sn jäävät sen sisäpuolelle. Jos funktio f on analyyttinen käyrillä S,S1,S2,,Sn ja niiden väliin jäävässä alueessa, niin

Sf(z)dz=nk=1Skf(z)dz.
../_images/DeformaatioYleistys.svg

Kuva 4.2.2. Integroimisteiden yhdistäminen defomaatiolauseen yleistystä todistettaessa.

Todistus
Todistuksen idea on sama kuin deformaatiolauseen todistuksessa. Erona on, että tien S sisäpuolelle jäävät tiet S1,S2,,Sn täytyy yhdistää toisiinsa kuvan 4.2.2 tapaan.

Esimerkki 4.2.8

Lasketaan integraali S1zdz, kun S on murtoviiva i2i1+i1+ii.

Integraali voitaisiin laskea useassa osassa yli kunkin erillisen janan esimerkiksi määritelmän mukaan. On kuitenkin helpompi huomata, että S on origon ympäri kulkeva paloittain sileä Jordanin käyrä. Koska f on analyyttinen kaikkialla muualla kuin origossa, niin deformaatiolauseen mukaisesti integraalin arvo on sama kuin yksikköympyrän yli integroitaessa. Siis lemman 4.1.8 nojalla S1zdz=2πi.

Palautusta lähetetään...