Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Tämä kurssi on jo päättynyt.

Cauchyn integraalikaava

Cauchyn integraalikaava on teoreettisesti merkittävä tulos, joka tarjoaa myös helpon tavan laskea integraaleja yli suljetun integroimistien. Se osoittaa, että analyyttisen funktion arvot suljetun tien sisällä määräytyvät sen perusteella mitä arvoja funktio saa suljetulla tiellä. Tämä on erittäin vahva ominaisuus, josta seuraa useita erilaisia teoreettisia tuloksia. Jatkossa käytämme Cauchyn integraalikaavaa esimerkiksi funktioiden sarjakehitelmien johtamiseen.

Lause 4.4.1 (Cauchyn integraalikaava)

Olkoon f:AC analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa A. Jos SA on paloittain sileä Jordanin käyrä ja z0 piste tien S sisäpuolella, niin

f(z0)=12πiSf(z)zz0dz.
Todistus

Deformaatiolauseen nojalla voidaan olettaa, että S on r-säteinen z0-keskinen ympyrä. Niinpä lemman 4.1.8 nojalla

Sf(z)zz0dz=Sf(z)f(z0)+f(z0)zz0dz=Sf(z0)zz0dz+Sf(z)f(z0)zz0dz=2πif(z0)+Sf(z)f(z0)zz0dz.

Tulos seuraa, jos viimeisen integraali on nolla. Tätä varten ML-lausetta käyttäen arvioidaan, että

|Sf(z)f(z0)zz0dz|max|zz0|=r|f(z)f(z0)||zz0|2πr=max|zz0|=r2π|f(z)f(z0)|.

Koska f on analyyttisena funktiona jatkuva pisteessä z0, niin

max|zz0|=r|f(z)f(z0)|0,kun r=|zz0|0.

Deformaatiolauseen nojalla integraalin Sf(z)f(z0)zz0dz arvo kuitenkaan ei riipu säteestä r, joten on oltava |Sf(z)f(z0)zz0dz|=0.

Analyyttisen funktion f arvon lisäksi myös sen kaikkien kertalukujen derivaatoille pisteessä z0 saadaan vastaavanlainen laskukaava. Tämä kaava osoittaa, että analyyttinen funktio on äärettömän monta kertaa derivoituva.

Lause 4.4.2 (Cauchyn integraalikaava derivaatoille)

Olkoon f:AC analyyttinen yhdesti yhtenäisessä alueessa A ja olkoon n luonnollinen luku. Jos SA on paloittain sileä Jordanin käyrä ja z0 piste tien S sisäpuolella, niin

f(n)(z0)=n!2πiSf(z)(zz0)n+1dz.
Todistus
Sivuutetaan, katso esimerkiksi Zill ja Shanahan (2003, 275–276). Todistuksessa käytetään Cauchyn integraalikaavaa ja sen todistuksessa esiintyvien tekniikoiden kaltaisia tarkasteluja.

Seuraus 4.4.3

Pisteessä z0 analyyttisellä funktiolla on Cauchyn integraalikaavan nojalla kaikkien kertalukujen derivaatat pisteen z0 ympäristössä, ja nämä puolestaan ovat analyyttisiä (ja siten jatkuvia) pisteessä z0.

Integraalien laskeminen on erittäin helppoa Cauchyn integraalikaavojen avulla mikäli integrandi on suoraan haluttua muotoa. Aina kuitenkin tarvitaan ymmärrystä siitä, missä funktio on tai ei ole analyyttinen. Seuraavissa kahdessa esimerkissä integroitava funktio kirjoitetaan ensin sellaiseen muotoon, että Cauchyn integraalikaavoja voi käyttää.

Esimerkki 4.4.4

Lasketaan integraali

Szz2+9dz,

kun S on ympyrä |z2i|=4. Koska z2+9=(z+3i)(z3i) niin integrandi on analyyttinen kaikkialla muualla paitsi pisteissä ±3i. Näistä vain piste 3i on tien S sisällä, joten

zz2+9=zz+3iz3i,

missä funktio zz+3i on analyyttinen integroimistiellä ja sen sisällä. Siis Cauchyn integraalikaavan nojalla

Szz2+9dz=Szz+3iz3idz=2πi3i3i+3i=πi.

Esimerkki 4.4.5

Olkoon S ympyrä |z|=1. Merkitään f(z)=z+1z+2i, jolloin Cauchyn integraalikaavasta derivaatoille seuraa, että

Sz+1z4+2iz3dz=Sz+1z+2iz3dz=2πi2!f(0)=πi24i(2i)3=π4+iπ2.

Käydään vielä läpi esimerkki, jossa korostuu funktion analyyttisuuden käsitteen ja esitettyjen integraaliin liittyvien lauseiden tärkeys.

Esimerkki 4.4.6

Laske integraali

Sez2z3+(3i)z23izdz,

missä S on puoliympyrän 1+2eit, t[π2,3π2] ja janan 12i1+2i muodostama jatkuva tie.

Ratkaisu

Integroitava funktio f(z)=ez2/(z3+(3i)z23iz) on jälleen kahden kokonaisen funktion osamäärä, ja siten ainoat pisteet joissa se ei ole analyyttinen ovat nimittäjän nollakohdat. Nyt

z3+(3i)z23iz=z(z2+(3i)z3i)=0

täsmälleen silloin, kun z=0 tai

z=(3i)+((3i)24(3i))1/22=(3i)±(3+i)2,

eli kun z=0 tai z=i tai z=3. Kuvaan 4.4.1 on piirretty integroimistie ja pisteet, joissa funktio ei ole analyyttinen. Nähdään, että pisteet 0 ja i ovat integroimistien sisällä, mutta piste 3 ei ole.

../_images/CauchynIntKaavaEsim.svg

Kuva 4.4.1. Integroimistie S, funktion f nimittäjän nollakohdat ja apuintegroimistiet S1 ja S2.

Koska pisteitä, joissa f ei ole analyyttinen on integroimistien sisällä kaksi, Cauchyn integraalikaavan soveltaminen ei onnistu suoraan. Deformaatiolauseen yleistyksen nojalla integraalin arvo on kuitenkin summa S1f(z)dz+S2f(z)dz, missä S1 ja S2 ovat pienet 0- ja i-keskiset tien S sisään jäävät sileät integroimistiet (kts. kuva 4.4.1). Nyt Cauchyn integraalikaavaa käyttäen integraaliksi lasketaan

Sez2z3+(3i)z23izdz=S1ez2z2+(3i)z3izdz+S2ez2z(z+3)zidz=2πie0202+(3i)03i+2πiei2i(i+3)=2π3+3πe15πe15i.
Palautusta lähetetään...