\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Logaritmifunktio ja sen johdannaiset

Kuten reaalisessakin maailmassa, logaritmifunktion \(\log(z)\) halutaan toimivan eksponenttifunktion \(\e^z\) käänteisfunktiona. Tässä törmätään kuitenkin ongelmiin. Asettamalla \(\log(z) = w\) täsmälleen silloin, kun \(z = \e^w\) havaitaan, että mikä tahansa luvuista \(w + \im k2\pi\), \(k \in \Z\) käy myös logaritmifunktion arvoksi. Kompleksiluvun juuren tapaan päädytään siis monikäsitteiseen funktioon, jonka täsmällisempi määritelmä muotoillaan mahdollisten arvojen joukkona. Ero juuren määrittämiseen on, että kompleksisella logaritmilla on äärettömän monta erillistä arvoa.

Määritelmä 2.4.1

Oletetaan, että \(z \in \C\). Tämän kompleksinen logaritmi

\[\log(z) = \{w \in \C \mid \e^w = z\}.\]

Koska kompleksisen eksponenttifunktion itseisarvo \(|\e^{x + \im y}| = \e^x\) ei voi koskaan saavuttaa arvoa \(0\), täsmällisen määritelmän mukaan

\[\log(0) = \{w \in \C \mid \e^w = 0\} = \varnothing\]

on olemassa. Reaali- ja kompleksianalyysin terminologian yhdenmukaisuuden vuoksi useimmiten sanotaan kuitenkin, että \(\log(0)\) ei ole määritelty, ja kompleksisen logaritmin määrittelyjoukkona pidetään punkteerattua kompleksitasoa \(\C \setminus \{0\}\). Jatkossa merkinnällä \(\log(z)\) tarkoitetaan myös määritelmän mukaisen joukon alkioita.

Huomautus 2.4.2

Erilaisten määritelmien vuoksi merkinnöissä on tehtävä ero kompleksisen ja reaalisen logaritmin välille. Kompleksinen logaritmi \(\log(z)\) on joukko, kun taas reaalinen logaritmi \(\ln(x)\) on positiivisilla reaaliluvuilla määritelty funktio.

Kehitellään sitten tapa konkreettisesti laskea kompleksisen logaritmin saamia arvoja.

Lause 2.4.3 (Logaritmin laskukaava)

Olkoon kompleksiluku \(z \not= 0\). Tällöin

\[\log(z)=\ln|z|+\im\left(\Arg(z) + k2\pi\right),\]

missä \(k \in \Z\).

Todistus

On ratkaistava ne kompleksiluvut \(w\), joilla yhtälö \(z=\e^w\) toteutuu. Kirjoitetaan \(w=u+\im v\), jolloin \(|\e^w|=\e^u\) ja \(\arg(\e^w)=v\). Lauseen 1.4.2 nojalla nyt \(z = \e^w\) täsmälleen silloin, kun

\[|z| = \e^u \qquad\text{ja}\qquad \arg(z) = v + k2\pi\]

jollakin kokonaisluvulla \(k\). Tässä \(\arg(z)\) voidaan korvata pääargumentilla \(\Arg(z)\), jolloin

\[u = \ln|z| \qquad\text{ja}\qquad v = \Arg(z) + k2\pi\]

jollakin kokonaisluvulla \(k\). Väite seuraa sijoittamalla \(u\) ja \(v\) kaavaan \(\log(z) = w\).

Esimerkki 2.4.4

Reaalinen logaritmi \(\ln(1) = 0\). Kompleksinen logaritmi

\[\log(1) = \ln|1| + \im\left(\Arg(1) + k2\pi\right) = 0 + \im(0 + k2\pi) = \im k2\pi,\]

missä \(k \in \Z\).

Nollasta eroaville kompleksiluvuille voimassa oleva laskukaava

\[\log(z)=\ln(|z|)+\im\left(\Arg(z)+k2\pi\right), \qquad k \in \Z\]

heijastaa kompleksisen logaritmin monikäsitteisyyttä. Jokainen kokonaisluku \(k\) määrittelee logaritmin haaran, ja rajoittumalla tiettyyn haaraan (kiinnittämällä luvun \(k\)) saadaan logaritmin kaltainen aito funktio.

Määritelmä 2.4.5

Oletetaan, että \(z \in \C \setminus \{0\}\). Logaritmifunktion päähaara

\[\Ln(z) = \ln|z| + \im\Arg(z).\]

Funktion \(\Ln(z)\) määrittelemiseksi tehdään kaksi valintaa: rajoitutaan käsittelemään luvun \(z \not= 0\) pääargumenttia \(\Arg(z) \in (-\pi, \pi]\), sekä valitaan kompleksisen logaritmin laskukaavassa \(k = 0\).

Esimerkki 2.4.6

Kompleksisen logaritmifunktion päähaara päätyy luvun \(1\) tapauksessa samaan tulokseen kuin reaalinenkin logaritmi: \(\Ln(1) = \ln|1| + \im\Arg(1) = 0 + \im \cdot 0 = 0\).

Kompleksinen logaritmi säilyttää monikäsitteisyydestään huolimatta tutut reaalisen logaritmin ominaisuudet.

Lemma 2.4.7 (Logaritmin ominaisuudet)

Olkoot \(z_1\) ja \(z_2\) kompleksilukuja. Tällöin

1. \(\log(z_1z_2)=\log(z_1)+\log(z_2),\)
2. \(\displaystyle\log\left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\log(z_1)-\log(z_2)\).

Todistus

Todistetaan esimerkin vuoksi kohta 1. Lauseen 2.4.3 ja reaalisen logaritmin ominaisuuksien nojalla

\[\begin{split}\begin{aligned} \log(z_1z_2) &= \ln|z_1z_2| + \im\left(\Arg(z_1z_2) + k2\pi\right) \\ &= \ln(|z_1||z_2|) + \im\left(\Arg(z_1z_2) + k2\pi\right) \\ &= \ln|z_1| + \ln|z_2| + \im\left(\Arg(z_1) + \Arg(z_2) + l2\pi\right) \\ &= \ln|z_1| + \im\left(\Arg(z_1) + l_12\pi\right) + \ln|z_2| + \im\left(\Arg(z_2) + l_22\pi\right) \\ &= \log(z_1) + \log(z_2), \end{aligned}\end{split}\]

missä \(k, l, l_1, l_2 \in \Z\) ja \(l = l_1 + l_2\). Tässä yhtäsuuruudet toimivat jakson ilmaisevan kokonaislukumuuttujan vaihdoista huolimatta, sillä ne ovat joukkojen yhtäsuuruuksia. Kun \(l_1\) ja \(l_2\) käyvät toisistaan riippumatta läpi kaikki kokonaisluvut, myös niiden summa \(l_1 + l_2 = l\) käy läpi kaikki kokonaisluvut.

Pohdi 2.4.8

Onko \(\Ln(z_1z_2) = \Ln(z_1) + \Ln(z_2)\) kaikille kompleksiluvuille \(z_1\) ja \(z_2\)?

Esimerkki 2.4.9

Logaritmin ominaisuuksien nojalla

\[\begin{split}\begin{aligned} \log\left(\frac{-1+i}{-\im}\right) &= \log(-1+\im)-\log(-\im) \\ &= \ln\left|-1+\im\right|+\im\left(\frac{3\pi}{4}+2\pi k\right) -\left(\ln\left|-\im\right|+\im\left(-\frac{\pi}{2}+2\pi n\right)\right)\\ &= \ln\left(\sqrt{2}\right)+\im\left(\frac{5\pi}{4}+2\pi m\right), \end{aligned}\end{split}\]

missä \(k, n, m \in \Z\). Edelleen

\[\begin{split}\begin{aligned} \Ln\left(\frac{-1+\im}{-i}\right) &= \ln\left|\frac{-1+\im}{-\im}\right| + \im\Arg\left(\frac{-1+\im}{-\im}\right) \\ &= \ln\left|-1+\im\right| - \ln\left|-\im\right| + \im\Arg(-1 - \im) \\ &= \ln\left(\sqrt{2}\right) - \im\frac{3\pi}{4}. \end{aligned}\end{split}\]

Huomataan kuitenkin, että lemman 2.4.7 tulokset eivät välttämättä ole voimassa logaritmin päähaaralla, sillä

\[\Ln(-1+\im)-\Ln(-\im) = \ln\left|-1 + \im\right| + \im\frac{3\pi}{4} - \left(\ln\left|-\im\right| - \im\frac{\pi}{2}\right) = \ln\left(\sqrt{2}\right)+\im\frac{5\pi}{4}.\]

Tutkitaan sitten, onnistuttiinko määrittelemään kompleksisen eksponenttifunktion käänteisfunktio. Jos kompleksiluku \(z \not= 0\), niin \(\log(z) = \ln|z| + \im\left(\Arg(z) + k2\pi\right)\) jollakin kokonaisluvulla \(k\), ja tällöin

\[\e^{\log(z)} = \e^{\ln|z| + \im\left(\Arg(z) + k2\pi\right)} = \e^{\ln|z|}\e^{\im\left(\Arg(z) + k2\pi\right)} = |z|\e^{\im\arg(z)} = z.\]

Voidaan siis ajatella, että tämä käänteisfunktion ominaisuus toteutuu. Kompleksinen logaritmi \(\log(z)\) on kuitenkin monikäsitteinen, joten lausekkeelle \(\log(\e^z)\) ei saada yksikäsitteistä arvoa. (Täsmällisen määritelmän mukaan kyseessä on joukko, joka kyllä sisältää luvun \(z\).) Funktioteorian näkökulmasta kyseessä ei siis ole käänteisfunktio.

Huomautus 2.4.10

Kysymys eksponenttifunktion \(\e^z\) käänteisfunktion olemassaolosta voidaan ratkaista tutkimalla sen injektiivisyyttä. Koska \(\e^{0} = 1 = \e^{\im 2\pi}\), vaikka \(0 \not= \im 2\pi\), \(\e^z\) ei voi olla injektio, eikä siten bijektio. Koska se ei ole bijektio, sillä ei ole käänteisfunktiota. Epäinjektiivisyys on myös syy siihen, miksi yritys määritellä eksponenttifunktion käänteisfunktiota päätyy monikäsitteiseen funktioon.

Pohdi 2.4.11

Onko \(\Ln(\e^z) = z\) kaikilla kompleksiluvuilla \(z\)? Osaatko perustella vastauksesi useammalla kuin yhdellä tavalla?

Arkus- ja areafunktiot

Kompleksisten trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot ratkaistaan määritelmän avulla. Prosessissa joudutaan kääntämään eksponenttifunktio, joten arkus- ja areafunktioista tulee välttämättä monikäsitteisiä. Käsitellään tässä tarkemmin sinin käänteisfunktiota. Muut käänteisfunktiot määritellään ja niiden laskukaavat johdetaan vastaavasti.

Huomautus 2.4.18

Vaikka tässä puhutaan arkus- ja areafunktioista trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden käänteisfunktioista, ne eivät varsinaisen määritelmän mukaan ole edes funktioita, vaan tilanne on vastaava kuin kompleksisen logaritmin kohdalla.

Arkussini määritellään niinä kompleksilukuina \(w = \arcsin(z)\), jotka toteuttavat yhtälön \(z=\sin(w)\). Sinin määritelmän nojalla siis

\[z = \frac{\e^{\im w} - \e^{-\im w}}{2\im} = \frac{\e^{\im 2w} - 1}{2\im\e^{\im w}}.\]

Tässä nimittäjä \(2\im\e^{\im w} \not= 0\), joten yhtäpitävästi

\[\left(\e^{\im w}\right)^2 - 2\im z\left(\e^{\im w}\right) - 1 = 0.\]

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan nojalla

\[\e^{\im w} = \frac{2\im z + \left((2\im z)^2 + 4\right)^{1/2}}{2} = \im z + \left((\im z)^2 + 1\right)^{1/2}.\]

Käyttämällä kompleksisen logaritmin määritelmää nähdään, että

\[\im w = \log\left(\im z + \left((\im z)^2 + 1\right)^{1/2}\right), \qquad\text{eli}\qquad \arcsin(z) = w = -\im\log\left(\im z + \left((\im z)^2 + 1\right)^{1/2}\right).\]

Arkussinin monikäsitteisyydellä on kaksi tekijää. Ratkaisukaavan kautta esiintyvällä juurilausekkeella on kaksi arvoa, ja näistä molemmista syntyy logaritmifunktiolle äärettömän monta arvoa. Jotta \(\arcsin(z)\) saadaan yksikäsitteiseksi, on siis otettava kantaa sekä juuren että logaritmin haaraan. Tyypillinen valinta on rajoittua sekä juuren että logaritmin päähaaroihin.

Pohdi 2.4.19

Johda arkuskosinin, areasinin ja/tai areakosinin määritelmät, sekä pohdi miten niissä esiintyvien lausekkeiden haaroja pitää rajoittaa, että saadaan yksikäsitteinen funktio.

Palautusta lähetetään...