\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \renewcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bbf}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-10mu}\,#1}^{\,#2}} \newcommand{\qedhere}{}\]

Rationaalifunktion nollat ja navat

Tässä luvussa esitellään funktioiden nollat ja erikoispisteet. Erikoispisteissä funktio ei ole analyyttinen ja kuten aiemmin huomattiin, nämä pisteet ovat oleellisia integroitaessa. Tämä yhteys konkretisoituu viimeistään residylaskentaa käsitellessä. Erikoispisteiden luokittelu kertoo karkeasti millaista funktion käyttäytyminen on kyseisessä pisteessä.

Aiheeseen tutustuminen on luontevaa aloittaa rationaalifunktioista, joilla erikoispisteiden käsittely on helppoa, koska siinä osoittaja ja nimittäjä voidaan jakaa tekijöihin ja haluttu informaatio nähdään tästä esityksestä. Rationaalifunktioilla on vain kahdenlaisia erikoispisteitä, poistuvia erikoispisteitä ja napoja, kun taas yleisesti on vielä kolmaskin erikoispisteiden tyyppi, eli oleellinen erikoispiste. Näille lajeille esitellään myös määritelmälle vaihtoehtoiset luonnehdinnat, jotka tuovat esille millaisesta funktion käyttäytymisestä kussakin erikoispisteessä on kyse.

Aloitetaan sitten eräiden kompleksimuuttujan funktioille erityisten pisteiden tunnistaminen ja etsiminen. Tällaisina voidaan pitää erityisesti pisteitä, joissa funktio saa arvon \(0\) tai joissa funktio ei ole analyyttinen. Rationaalifunktiolle tällaisten pisteiden etsiminen on suoraviivaista, joten aloitetaan siitä. Palataan esimerkin 2.5.6 rationaalifunktioon

\[f(z) = \frac{z - 1}{(z + 2 - \im)(z - 3\im)},\]

sekä sen itseisarvon logaritmin ja pääargumentin kuvaajiin (kuva 6.1.1).

Pohdi 6.1.1

Mikä saa aikaan

1. alaspäin suuntautuvat piikit itseisarvon logaritmin kuvaajassa,
2. ylöspäin suuntautuvat piikit itseisarvon logaritmin kuvaajassa,
3. eri värien kohtaamispisteet ja rajapinnat argumentin kuvaajassa?

Kuva 6.1.1. Rationaalifunktion \(f(z) = (z - 1)/(z + 2 - \im)(z - 3\im)\) itseisarvon logaritmin, sekä argumentin kuvaajat.

Edellistä pohdintatehtävää voidaan lähestyä ainakin seuraavalla tavalla. Reaalinen logaritmifunktio \(\ln(x)\) lähestyy negatiivista ääretöntä (piikki alaspäin) silloin, kun \(x\) lähestyy nollaa. Vastaavasti \(\ln(x)\) lähestyy positiivista ääretöntä (piikki ylöspäin) silloin, kun \(x\) lähestyy ääretöntä. Milloin siis \(|f(z)| \to 0\) ja \(|f(z)| \to \infty\)?

Argumentin osalta useiden värien kohtaaminen yhdessä pisteessä tarkoittaa, että tässä pisteessä argumentti voi olla mitä vain. Toisin sanoen värien kohtaamispisteissä argumenttia \(\arg(f(z))\) ei ole määritelty (argumentin on oltava haaraa vaille yksikäsitteinen). Milloin näin käy?

Yhteiset vastaukset edellä esitettyihin kysymyksiin voidaan muotoilla funktion \(f\) nollien (nollakohtien) ja napojen käsitteiden avulla. Silloin kun \(f(z) = 0\), funktion argumenttia \(\arg(f(z)) = \arg(0)\) ei todella ole määritelty. Samoin tällaista pistettä lähestyttäessä \(|f(z)| \to 0\), joten itseisarvon logaritmin kuvaajaan syntyy alaspäin suuntautuva piikki. Toisaalta silloin, kun \(|f(z)| \to \infty\), myös funktion arvojen on muututtava rajatta kunnes saavutetaan piste, jossa funktiota ei ole määritelty.

Rationaalifunktion tapauksessa edellä kuvailtuihin tilanteisiin päädytään täsmälleen silloin, kun sen osoittaja tai nimittäjä saa arvon \(0\). Rationaalifunktion \(f(z) = p(z)/q(z)\)

1. nollat ovat ne pisteet, joissa \(p(z) = 0\) ja \(q(z) \neq 0\),
2. navat ovat ne pisteet, joissa \(q(z) = 0\) ja \(p(z) \neq 0\).

Voi käydä myös niin, että \(p(z) = 0\) ja \(q(z) = 0\). Tällöin funktion käyttäytyminen pisteen \(z\) ympäristössä riippuu siitä kuinka nopeasti \(p\) ja \(q\) lähestyvät nollaa. Jos \(p\) lähestyy nollaa nopeammin kuin \(q\), on kyseessä nolla. Jos taas \(q\) lähestyy nollaa nopeammin kuin \(p\), on piste \(z\) napa. Jos nollaa lähestytään kutakuinkin samaa nopeutta kutsutaan pistettä \(z\) poistuvaksi erikoispisteeksi. Nimityksen taustalla on se tosiasia, että tässä tapauksessa osoittajalla ja nimittäjällä on vähintään ensimmäisen asteen yhteinen tekijä, jotka voidaan supistaa pois ja jäljelle jäävällä funktiolla ei ole pisteessä \(z\) erikoispistettä ollenkaan.

Esimerkki 6.1.2

Edellä käsitellyllä rationaalifunktiolla

\[f(z) = \frac{z - 1}{(z + 2 - \im)(z - 3\im)}\]

on nolla pisteessä \(z = 1\), sekä navat pisteissä \(z = -2 + \im\) ja \(z = 3\im\).

Palautusta lähetetään...