\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Satunnaismuuttujan funktiot
Täsmällisesti määriteltynä satunnaismuuttuja \(X\) on kuvaus eli funktio otosavaruudesta \(\Omega\) reaalilukujen joukkoon. Jos muodostetaan satunnaismuuttujan reaaliarvoinen funktio \(h\), niin \(Y=h(X)\) on yhdistetty funktio, joka on myös satunnaismuuttuja. Tällä uudella satunnaismuuttujalla on oma otosavaruutensa ja tiheysfunktionsa.
Uusia satunnaismuuttujia voidaan luoda satunnaismuuttujan funktioina. Itse asiassa jokainen satunnaismuuttuja voidaan muodostaa yhden tai useamman jatkuvaa tasajakaumaa \(X\sim\Tas(0,1)\) noudattavan satunnaismuutujan funktiona.
Katsotaan diskreetin satunnaismuuttujan funktion muodostumista esimerkkien avulla.
Esimerkki 2.3.1
Yksinkertainen esimerkki uudesta satunnaismuuttujasta on muodostaa se luokittelemalla. Kun satunnaismuuttuja \(X=\)‘Pelikortin arvo’, on sillä otosavaruutena
\(\Omega=\{2,3,4,\cdots, 13,14\}\), kun ässälle on sovittu arvoksi \(14\). Jokaisen arvon todennäköisyys on sama \(4/52=1/13\) ja tiheysfunktio on
\[f(x)=\frac{1}{13}=0.0769, \ x\in\Omega\]
Muodostetaan uusi satunnaismuuttuja funktiona \(Y=h(X)\), joka kuvaa arvot \(X=2,3,4,\cdots, 10\) arvoksi \(Y=1\) (=ei-kuvakortit) ja arvot \(X=11,12,13,14\) arvoksi \(Y=2\) (=kuvakortit). Uuden satunnaismuuttujan \(Y\) otosavaruus on \(\Omega_Y=\{1,2\}\) ja tiheysfunktio
\[\begin{split}\begin{array}{rcl}
g(1) &= P(Y=1) = P(X=2)+P(X=3)+\cdots + P(X=10) = \frac{9}{13}=0.6923\\
g(2)&=P(Y=2)= P(X=11)+P(X=12)+\cdots + P(X=14)=\frac{4}{13}=0.3077
\end{array}\end{split}\]
Esimerkki 2.3.2
Yleisestikin diskreetin satunnaismuuttujan \(X\) funktiot \(Y=h(X)\) ovat diskreettejä. Uuden muuttujan \(Y\) otosavaruus saadaan määritettämällä, mitä arvoja \(Y\) voi saada ja \(Y\):n arvojen todennäköisyydet (=tiheysfunktio) saadaan laskemalla yhteen niiden alkeistapahtumien \(X\) todennäköisyydet, jotka kuvautuvat ko. arvoksi \(Y\).
Esimerkiksi olkoon \(X\) diskreetti satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio on
\[f(x)=\frac{x^2}{10},\qquad\text{kun } x\in\Omega_X=\{-2,-1,1,2\}.\]
Muodostetaan uusi satunnaismuuttuja \(Y = X^2 = h(X)\), eli jos satunnaiskokeessa \(X\) saa arvon \(x\), niin satunnaismuuttuja \(Y\) saa tällöin arvon \(h(x) = x^2\). Muuttujan \(Y\) mahdolliset arvot, eli sen otosavaruus saadaan kuvajoukkona
\[h(\Omega_X) = \{h(-2), h(-1), h(1), h(2)\} = \{1, 4\} = \Omega_Y.\]
Satunnaismuuttujan \(Y\) otosavaruuden arvojen todennäköisyydet saadaan niitä vastaavien muuttujan \(X\) arvojen avulla:
\[\begin{split}\begin{aligned}
P(Y=1) &= P(X=-1)+P(X=1)=\frac{(-1)^2}{10}+\frac{1^2}{10}=\frac{1}{5},\\
P(Y=4) &= P(X=-2)+P(X=2)=\frac{(-2)^2}{10}+\frac{2^2}{10}=\frac{4}{5}.
\end{aligned}\end{split}\]
Esimerkki 2.3.3
Jatkuvasta satunnaismuuttujasta voidaan muodostaa myös uusi diskreetti satunnaismuuttuja. Olkoon \(X\sim\mathrm{Tas}(0,1)\) välillä \([0,1]\) tasajakautunut satunnaismuuttuja ja \(p\) jokin reaaliluku väliltä \([0,1].\) Määritellään uusi satunnaismuuttuja \(Y\) siten, että
\[Y=0, \textrm{ jos } X\in(p,1],\quad Y=1, \textrm{ jos } X\in[0,p]\]
Nyt \(Y\) voi saada arvot 0 tai 1, joten \(Y\):n otosavaruus on joukko \(\Omega_Y=\{0,1\}\) ja tiheysfunktio saadaan välien \((p,1], \ [0,p]\) pituuksien avulla (\(X\) tasajakautunut)
\[P(Y=0)=1-p, \quad P(Y=1)=p\]
Tämä todennäköisyysjakauma on ns. Bernoullijakauma ja sitä merkitään \(Y\sim\mathrm{Ber}(p)\). Bernoullijakautunut satunnaismuuttuja voi saada arvon 0 tai 1, ja luvun 1 todennäköisyys on \(p\).
Esimerkki 2.3.4
Uuden satunnaismuuttujan muodostamiseen voidaan käyttää myös useita satunnaismuuttujia. Jos heitetään kahta noppaa ja merkitään niiden silmälukuja \(X_1\) ja \(X_2\), niin molemmat ovat diskreetisti tasajakautuneita \(X_1\sim\mathrm{Tasd}(1,6)\), \(X_2\sim\mathrm{Tasd}(1,6)\). Muodostetaan uusi satunnaismuuttuja \(Y=X_1+X_2\). Silmälukujen summa voi saada arvoja joukosta \(\Omega_Y=\{2,3,4,\cdots,12\}\). Näiden arvojen todennäköisyydet saadaan selville, kun tiedetään, että erilaisia nopanheittopareja on \(6\cdot 6=36\) erilaista ja ne ovat kaikki yhtä todennäköisiä. Esimerkiksi summa 6 voidaan saada heittopareista \((1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)\), joita on 5 kpl. Todennäköisyys \(P(Y=6)=5/36\). Kun vastaavasti käydään läpi kaikki arvot, saadaan muuttujan \(Y\) tiheysfunktio, joka voidaan esittää listana
\[\begin{split}\begin{array}{cl}
\quad &P(Y=2)=1/36,\ P(Y=3)=2/36,\ P(Y=4)=3/36,\ P(Y=5)=4/36,\\
&P(Y=6)=5/36,\ P(Y=7)=6/36, \ P(Y=8)=5/36, P(Y=9)=4/36, \\
&P(Y=10)=3/36, P(Y=11)=2/36, P(Y=12)=1/36
\end{array}\end{split}\]
Tutkitaan seuraavaksi jatkuvan satunnaismuuttujan \(X\) funktiota. Satunnaismuuttuja \(Y=h(X)\) voi olla diskreetti, jatkuva tai ei kumpaakaan. Nyt uuden muuttujan tiheysfunktion määrittäminen on haastavampaa kuin diskreetin satunnaismuuttujan kohdalla. Tilanteessa, jossa \(Y\) on jatkuva ja funktio \(h\) aidosti monotoninen (aidosti kasvava tai aidosti vähenevä) saadaan seuraava tulos
Lause 2.3.5
Olkoon jatkuvan satunnaismuuttujan \(X\) tiheysfunktio \(f(x)\), ja olkoon satunnaismuuttuja \(Y=h(X)\). Jos funktio \(h\) on derivoituva ja aidosti monotoninen, niin satunnaismuuttujan \(Y\) tiheysfunktio on
\[g(y)=f\left(h^{-1}(y)\right)\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|.\]
Piilota/näytä todistus
Tiheysfunktio \(g(y)\) voidaan määrittää siten, että lasketaan ensin satunnaismuuttujan \(Y\) kertymäfunktio \(G(y)\), joka sitten derivoidaan. Koska \(h\) on aidosti monotoninen, sille on olemassa käänteisfunktio \(h^{-1}\).
Oletetaan ensin, että funktio \(h\) on aidosti kasvava, jolloin myös sen käänteisfunktio on aidosti kasvava. Nyt satunnaismuuttujan \(Y\) kertymäfunktio voidaan esittää satunnaismuuttujan \(X\) kertymäfunktion \(F\) avulla muodossa
\[G(y)=P(Y\leq y)=P(h(X)\leq y)=P(X\leq h^{-1}(y))=F(h^{-1}(y)).\]
Derivoimalla kertymäfunktio saadaan tiheysfunktioksi
\[g(y) = \frac{\rd}{\rd y}G(y) = \frac{\rd}{\rd y}F(h^{-1}(y)) = F'(h^{-1}(y))\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y) = f(h^{-1}(y))\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|,\]
koska aidosti kasvavan funktion \(h^{-1}\) derivaatta \(\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)>0\).
Oletetaan sitten, että funktio \(h\) on aidosti vähenevä, jolloin myös sen käänteisfunktio on aidosti vähenevä. Vastaavasti kuin edellä soveltamalla vähenevyyttä nähdään, että
\[G(y)=P(Y\leq y)=P(h(X)\leq y)=P(X\geq h^{-1}(y))=1-F(h^{-1}(y)).\]
Derivoimalla kertymäfunktio saadaan tiheysfunktioksi
\[g(y) = \frac{\rd}{\rd y}G(y) = \frac{\rd}{\rd y}\left(1-F(h^{-1}(y)\right) = -f(h^{-1}(y))\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y) = f(h^{-1}(y))\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|,\]
sillä aidosti vähenevän funktion derivaatta \(\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)<0\) ja \(\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)=-\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|\).
Esimerkki 2.3.6
Olkoon satunnaismuuttuja \(X\) neliön sivun pituus ja sen tiheysfunktio
\[f(x)=2x,\qquad\text{kun } x\in\Omega_X=[0,1].\]
Muodostetaan uusi satunnaismuuttuja neliön pinta-ala \(Y=X^2\).
Funktio \(y = x^2 = h(x)\) on välillä \([0,1]\) derivoituva ja aidosti kasvava, jolloin sillä on käänteisfunktio \(h^{-1}(y) = \sqrt{y}\) ja sen derivaatta on \(\dfrac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)=\dfrac{1}{2\sqrt{y}}\).
Kun \(x\in[0,1]\), saa \(y=x^2\) myös arvoja välillä \([0,1]\). Siksi \(\Omega_Y=[0,1]\).
\(Y:\)n tiheysfunktio \(g(y)\) saadaan
\[g(y)=f\left(h^{-1}(y)\right)\left|\frac{\rd}{\rd y}h^{-1}(y)\right|=2\sqrt{y}\frac{1}{2\sqrt{y}}=1,\qquad\text{kun } y\in\Omega_Y=[0,1].\]
Jos siis neliön sivu valitaan satunnaisesti jakaumasta \(f(x)=2x,\ x\in\Omega_X=[0,1],\) on näin muodostuneen neliön pinta-ala tasaisesti jakautunut \(Y\sim\mathrm{Tas}(0,1)\).
Esimerkki 2.3.7
Olkoon \(X\sim\mathrm{Tas}(0,1)\). Tällöin \(f(x)=1,\ x\in\Omega_X=[0,1]\). Muodostetaan uusi satunnaismuuttuja funktiona
\[Y=-\frac{\ln(1-X)}{\lambda}\]
missä vakio \(\lambda>0\),
Nyt muunnosfunktio
\[h(x)=-\frac{\ln(1-x)}{\lambda}\]
on derivoituva ja aidosti monotoninen. Sillä on siis käänteisfunktio
\[y=h(x)=-\frac{\ln(1-x)}{\lambda} \Leftrightarrow e^{-\lambda y}=1-x \Leftrightarrow x=1-e^{-\lambda y} = h^{-1}(y)\]
Nyt satunnaismuuttujan \(Y\) tiheysfunktio saadaan
\[g(y)=f\left(h^{-1}(y)\right)\left|\frac{d}{dy}h^{-1}(y)\right| = 1\left| \lambda e^{-\lambda y} \right|=\lambda e^{-\lambda y}\]
Kun \(X\sim\mathrm{Tas}(0,1)\), saa \(\ln(1-x)\) arvoja väliltä \((-\infty, 0]\) ja satunnaismuuttuja \(Y\) saa siis arvoja väliltä \(\Omega_{Y}=[0, \infty)\). Tiheysfunktiosta ja otosavaruudesta huomataan, että \(Y\) on siis eksponenttijakautunut
satunnaismuuttuja \(Y\sim\mathrm{Exp}(\lambda)\).