\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\rA}{\mathrm{A}} \newcommand{\rB}{\mathrm{B}} \newcommand{\rC}{\mathrm{C}} \newcommand{\rD}{\mathrm{D}} \newcommand{\rE}{\mathrm{E}} \newcommand{\rF}{\mathrm{F}} \newcommand{\rG}{\mathrm{G}} \newcommand{\rH}{\mathrm{H}} \newcommand{\rI}{\mathrm{I}} \newcommand{\rJ}{\mathrm{J}} \newcommand{\rK}{\mathrm{K}} \newcommand{\rL}{\mathrm{L}} \newcommand{\rM}{\mathrm{M}} \newcommand{\rN}{\mathrm{N}} \newcommand{\rO}{\mathrm{O}} \newcommand{\rP}{\mathrm{P}} \newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}} \newcommand{\rR}{\mathrm{R}} \newcommand{\rS}{\mathrm{S}} \newcommand{\rT}{\mathrm{T}} \newcommand{\rU}{\mathrm{U}} \newcommand{\rV}{\mathrm{V}} \newcommand{\rW}{\mathrm{W}} \newcommand{\rX}{\mathrm{X}} \newcommand{\rY}{\mathrm{Y}} \newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\im}{\mathrm{i}} \newcommand{\e}{\mathrm{e}} \newcommand{\real}{\operatorname{Re}} \newcommand{\imag}{\operatorname{Im}} \newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}} \newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}} \DeclareMathOperator*{\res}{res} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|} \newcommand{\trans}{\mathrm{T}} \newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}} \newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}} \newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}} \newcommand{\num}[2][]{#2} \newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}} \newcommand{\meter}{m} \newcommand{\metre}{\meter} \newcommand{\kilo}{k} \newcommand{\kilogram}{kg} \newcommand{\gram}{g} \newcommand{\squared}{^2} \newcommand{\cubed}{^3} \newcommand{\minute}{min} \newcommand{\hour}{h} \newcommand{\second}{s} \newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C} \newcommand{\per}{/} \newcommand{\centi}{c} \newcommand{\milli}{m} \newcommand{\deci}{d} \newcommand{\percent}{\%} \newcommand{\Var}{\operatorname{Var}} \newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}} \newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}} \newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}} \newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}} \newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}} \newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}} \newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}} \newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}} \newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}} \newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}} \newcommand{\tdist}{\operatorname{t}} \newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]

Todennäköisyysjakaumia¶

Seuraavassa tiivistetään kurssilla esillä olleet diskreetit ja jatkuvat todennäköisyysjakaumat. Jokaisesta esitellään hyödyllisin osin otosavaruus, tiheysfunktio, odotusarvo, varianssi, momentit generoiva funktio, Matlab- ja R-komennot, esimerkkikuvaajia ja lisätietoja.

Diskreetti tasajakauma, \(\Tasd(a, b)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = [a, b] \cap \Z = \{i \in \Z : a \leq i \leq b\}\)

Tiheysfunktio: \(P(X = x) = f(x) = \dfrac{1}{b-a+1}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = \dfrac{a + b}{2}\)

Varianssi: \(\Var(X) = \dfrac{(b - a + 1)^2 - 1}{12}\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t) = \begin{cases}1, & \text{kun } t = 0 \\ \dfrac{1}{b - a + 1}\dfrac{e^{ta} - e^{t(b + 1)}}{1 - e^{t}}, & \text{kun } t \not= 0\end{cases}\)

Matlab, \(X\sim \Tasd(1, n)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   unidpdf(x,n)
   unidcdf(x,n)
   unidinv(x,n)

R, \(X\sim \Tasd(a, b)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   ddunif(x,a,b)
   pdunif(x,a,b)
   qdunif(x,a,b)

Lisätietoja:

Englanniksi discrete uniform distribution, \(\mathrm{Unifd}(a, b)\).
Jos otosavaruuden alkeistapahtumat ovat symmetriset (klassinen todennäköisyys), niin niistä muodostuva satunnaismuuttuja noudattaa diskreettiä tasajakaumaa.
Esimerkiksi nopan- tai kolikonheiton tulosten todennäköisyydet saadaan diskreetistä tasajakaumasta.
\(\Tasd(0, 1) = \Ber(0{,}5)\).

Bernoullin jakauma, \(\Ber(p)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = \{0, 1\}\)

Tiheysfunktio: \(P(X = x) = f(x) = p^x(1-p)^{1-x}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = p\)

Varianssi: \(\Var(X) = p(1 - p)\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t) = pe^t + 1 - p\)

Matlab, \(X\sim \Ber(p)=\Bin(1,p)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   binopdf(x,1,p)
   binocdf(x,1,p)
   binoinv(x,1,p)

R, \(X\sim \Ber(p)=\Bin(1,p)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   dbinom(x,1,p)
   pbinom(x,1,p)
   qbinom(x,1,p)

Lisätietoja:

Englanniksi Bernoulli distribution.
Bernoullin jakaumaa noudattava satunnaismuuttuja \(X\) saa toisen kahdesta arvosta, jotka on koodattu luvuiksi \(0\) ja \(1\). Tapauksen \(X = 1\) (onnistuminen) todennäköisyys on \(p\) ja tapauksen \(X = 0\) (epäonnistuminen) \(1 - p\).
Esimerkiksi syntyvän lapsen sukupuoli tai tentissä onnistuminen voidaan esittää Bernoullin jakaumaa noudattavalla satunnaismuuttujalla.
Bernoullin kokeella tarkoitetaan Bernoullin jakaumaa noudattavan satunnaismuuttujan koetta.
\(\Ber(0{,}5) = \Tasd(0, 1)\) ja \(\Ber(p) = \Bin(1, p)\).

Binomijakauma, \(\Bin(n, p)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = \{0, 1, 2, \ldots, n\}\)

Tiheysfunktio: \(\displaystyle P(X = x) = f(x) = \binom{n}{x} p^x(1-p)^{n-x}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = np\)

Varianssi: \(\Var(X) = np(1 - p)\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t)=(pe^t+1-p)^n\)

Matlab, \(X\sim \Bin(n,p)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   binopdf(x,n,p)
   binocdf(x,n,p)
   binoinv(x,n,p)

R, \(X\sim \Bin(n,p)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   dbinom(x,n,p)
   pbinom(x,n,p)
   qbinom(x,n,p)

Lisätietoja:

Englanniksi binomial distribution.
\(f(x)\) kuvaa yhteensä \(x\) onnistumisen todennäköisyyttä \(n\) riippumattomassa jakaumaa \(\Ber(p)\) noudattavassa Bernoullin kokeessa.
Esimerkiksi viiden klaavan saaminen 10 kolikonheiton sarjassa.
Jos \(X_1 \sim \Bin(n, p)\) ja \(X_2 \sim \Bin(m, p)\) ovat riippumattomia, niin niiden summa \(X_1 + X_2 \sim \Bin(n + m, p)\).
\(\Bin(1, p) = \Ber(p)\).
\(\Bin(n, p) \approx \Poi(np)\), kun \(n\) on suuri, \(p\) pieni ja \(np \ll n\).
\(\Bin(n, p) \approx \rN(np, np(1 - p))\), kun \(np \geq 5\) ja \(n(1 - p) \geq 5\).

Poissonin jakauma, \(\Poi(\lambda)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = \N \cup \{0\} = \{0, 1, 2, \ldots\}\)

Tiheysfunktio: \(P(X = x) = f(x)=\dfrac{\lambda ^x}{x!}e^{-\lambda}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = \lambda\)

Varianssi: \(\Var(X) = \lambda\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t)=e^{-\lambda}e^{\lambda e^t}\)

Matlab, \(X\sim \Poi(lambda)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   poisspdf(x,lambda)
   poisscdf(x,lambda)
   poissinv(x,lambda)

R, \(X\sim \Poi(lambda)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   dpois(x,lambda)
   ppois(x,lambda)
   qpois(x,lambda)

Lisätietoja:

Englanniksi Poisson distribution.
Harvinaisten, riippumattomien ja keskimäärin vakiotahdilla esiintyvien tapahtumien todennäköisyysjakauma.
Jos suoritetaan suuri määrä \(n\) jakaumaa \(\Ber(p)\) noudattavia Bernoullin kokeita ja \(p\) on pieni, niin onnistumisien lukumäärä noudattaa likimain Poissonin jakaumaa ja \(\lambda \approx np\).
Esimerkiksi tuotantovirheiden esiintyminen tai fotonien osuminen sensorille.
\(\Poi(np) \approx \Bin(n, p)\), kun \(n\) on suuri, \(p\) on pieni ja \(np \ll n\).
Jos \(X_1 \sim \Poi(\lambda_1)\) ja \(X_2 \sim \Poi(\lambda_2)\) ovat riippumattomia, niin \(X_1 + X_2 \sim \Poi(\lambda_1 + \lambda_2)\).

Geometrinen jakauma, \(\Geom(p)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = \Z_+ = \{1, 2, 3, \ldots\}\)

Tiheysfunktio: \(P(X = x) = f(x) = p(1 - p)^{x - 1}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = \dfrac{1}{p}\)

Varianssi: \(\Var(X) = \dfrac{1 - p}{p^2}\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t) = \dfrac{pe^t}{1-(1-p)e^t}\)

Matlab, \(X\sim \Geom(p)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

Huom. Matlabissa \(x\) tarkoittaa epäonnistumisten määrää ennen onnistumista, kun taas yllä \(x\) on 1. onnistumisen toistokerta.

   geopdf(x,p)
   geocdf(x,p)
   geoinv(x,p)

R, \(X\sim \Geom(p)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

Huom. R:ssä \(x\) tarkoittaa epäonnistumisten määrää ennen onnistumista, kun taas yllä \(x\) on 1. onnistumisen toistokerta.

   dgeom(x,p)
   pgeom(x,p)
   qgeom(x,p)

Lisätietoja:

Englanniksi geometric distribution.
\(f(x)\) kuvaa todennäköisyyttä, että ensimmäinen onnistuminen osuu \(x\):lle yrittämälle jonossa riippumattomia jakaumaa \(\Ber(p)\) noudattavia Bernoullin kokeita.
Esimerkiksi ensimmäisen klaavan saaminen seitsemännellä yrittämällä kolikonheittojen sarjassa.

Hypergeometrinen jakauma, \(\Hyperg(N, m, n)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = \{x \in \Z : \max\{0, n - (N - m)\} \leq x \leq \min\{n, m\}\}\)

Tiheysfunktio: \(\displaystyle P(X = x) = f(x) = \frac{\binom{m}{x}\binom{N - m}{n - x}}{\binom{N}{n}}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = \dfrac{nm}{N}\)

Varianssi: \(\Var(X) = \frac{nm(N - m)(N - n)}{N^3 - N}\)

Matlab, \(\Hyperg(N, m, n)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   hygepdf(x,N,m,n)
   hygecdf(x,N,m,n)
   hygeinv(x,N,m,n)

R, \(\Hyperg(N, m, n)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

Huom. R:ssä parametrit esitetään toisella tavalla. Komennossa paramterit ovat (x, m, N-m, n).

   dhyper(x,m,N-m,n)
   phyper(x,m,N-m,n)
   qhyper(x,m,N-m,n)

Lisätietoja:

Englanniksi hypergeometric distribution.
Lähtötilanteessa joukossa on \(N\) alkiota, joista \(m\) ovat halutunlaisia ja loput eivät. Kokeessa poimitaan palauttamatta \(n\) alkion otos. \(f(x)\) kuvaa todennäköisyyttä, jolla otokseen valikoituu \(x\) kappaletta halutunlaisia alkioita.
Esimerkiksi eri väristen pallojen poimiminen laatikosta.
Jos \(N \gg n\), niin palauttamatta tehty otanta on likimain sama kuin palauttaen tehty otanta.
\(\Hyperg(N, m, n) \approx \Bin\left(n, \frac{m}{N}\right)\), kun \(n \leq \frac{N}{10}\).

Jatkuva tasajakauma, \(\Tas(a, b)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = [a, b]\)

Tiheysfunktio: \(f(x)=\frac{1}{b-a}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = \dfrac{a + b}{2}\)

Varianssi: \(\Var(X) = \dfrac{(b - a)^2}{12}\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t) = \begin{cases} 1, & \text{kun } t = 0 \\ \dfrac{e^{bt} - e^{at}}{t(b - a)}, & \text{kun } t \not= 0\end{cases}\)

Matlab, \(X\sim \Tas(a, b)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   unifpdf(x,a,b)
   unifcdf(x,a,b)
   unifinv(x,a,b)

R, \(X\sim \Tas(a, b)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   dunif(x,a,b)
   punif(x,a,b)
   qunif(x,a,b)

Lisätietoja:

Englanniksi (continuous) uniform distribution, \(\mathrm{Unif}(a, b)\).
Monissa tietokoneohjelmissa satunnaisluvulla (random number) tarkoitetaan satunnaismuuttujan \(X \sim \Tas(a, b)\) realisoitunutta arvoa. Muiden jatkuvien satunnaislukugeneraattoreiden toteutukset nojaavat jatkuvaan tasajakaumaan.

Eksponenttijakauma, \(\Exp(\lambda)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = [0, \infty)\)

Tiheysfunktio: \(f(x) = \lambda e^{-\lambda x}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = \dfrac{1}{\lambda}\)

Varianssi: \(\Var(X) = \dfrac{1}{\lambda^2}\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t) = \dfrac{\lambda}{\lambda - t},\) kun \(0 \leq t < \lambda\)

Matlab, \(X\sim \Exp(lambda)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

Huom. Matlabissa on käytössä toisenlainen tiheysfunktio ja parametrisointi, jolloin \(\lambda\) korvataan käänteisluvullaan \(1/\lambda\).

   exppdf(x,1/lambda)
   expcdf(x,1/lambda)
   expinv(x,1/lambda)

R, \(X\sim \Exp(p)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

Huom. R:ssä on käytössä yllä esitelty tiheysfunktio

   dexp(x,lambda)
   pexp(x,lambda)
   qexp(x,lambda)

Lisätietoja:

Englanniksi exponential distribution.
Geometrisen jakauman jatkuva vastine.
Unohtuvaisuusominaisuus (memorylessness): jos \(X \sim \Exp(\lambda)\), niin

\[P(X > x_1 + x_2 \mid X > x_1) = P(X > x_2).\]
Esimerkiksi elektronisen komponentin ikä.

Normaalijakauma, \(\rN(\mu, \sigma^2)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = \R\)

Tiheysfunktio: \(\displaystyle f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}\left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right)^2}\)

Odotusarvo: \(\rE(X) = \mu\)

Varianssi: \(\Var(X) = \sigma^2\)

Momentit generoiva funktio: \(\displaystyle M(t)=e^{\mu t+\frac{1}{2}t^2\sigma^2}\)

Matlab, \(\rN(mu, sd^2)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

Huom. Matlabissa toinen parametri on keskihajonta.

   normpdf(x,mu,sd)
   normcdf(x,mu,sd)
   norminv(x,mu,sd)

R, \(\rN(mu, sd^2)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

Huom. R:ssä toinen parametri on keskihajonta.

   dnorm(x,mu,sd)
   pnorm(x,mu,sd)
   qnorm(x,mu,sd)

Lisätietoja:

Englanniksi normal distribution tai Gaussian distribution.
Jos \(X \sim \rN(\mu, \sigma^2)\), niin \(aX + b \sim \rN(a\mu + b, a^2\sigma^2)\).
Jos \(X_1 \sim \rN(\mu_1, \sigma_1^2)\) ja \(X_2 \sim \rN(\mu_2, \sigma_2^2)\) ovat riippumattomia, niin

\[X_1 + X_2 \sim \rN(\mu_1 + \mu_2, \sigma_1^2 + \sigma_2^2).\]
Keskeisen raja-arvolauseen perusteella usean satunnaismuuttujan summa (ja täten myös otoskeskiarvo) on likimain normaalisti jakautunut riippumatta niiden alkuperäisistä jakaumista.
\(\rN(np, np(1 - p)) \approx \Bin(n, p)\), kun \(np \geq 5\) ja \(n(1 - p) \geq 5\).
Jos \(Z_i \sim \rN(0, 1)\), \(i = 1, 2, \ldots, n\) ovat riippumattomia, niin \(\sum\limits_{i = 1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)\).

\(\chi^2\)-jakauma, \(\chi^2(n)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = [0, \infty)\)

Tiheysfunktio: \(f(x)=\dfrac{1}{2^{\frac{n}{2}}\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}x^{\frac{n}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}}\), missä \(\Gamma\) on Eulerin gammafunktio

Odotusarvo: \(\rE(X) = n\)

Varianssi: \(\Var(X) = 2n\)

Momentit generoiva funktio: \(M(t) = (1 - 2t)^{-\frac{n}{2}}\), kun \(t < \frac{1}{2}\)

Matlab, \(\chi^2(n)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   chi2pdf(x,n)
   chi2cdf(x,n)
   chi2inv(x,n)

R, \(\chi^2(n)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   dchisq(x,n)
   pchisq(x,n)
   qchisq(x,n)

Lisätietoja:

Englanniksi chi-squared distribution.
Jos \(X \sim \chi^2(n)\), niin satunnaismuuttuja \(X\) on \(\chi^2\)-jakautunut vapausastein \(n\) (degrees of freedom, df).
Jos \(Z_i \sim \rN(0, 1)\), \(i = 1, 2, \ldots, n\) ovat riippumattomia, niin \(\sum\limits_{i = 1}^n Z_i^2 \sim \chi^2(n)\).
Jos \(X_i \sim \rN(\mu, \sigma^2)\), \(i = 1, 2, \ldots, n\) ovat riippumattomia, niin

\[\dfrac{(n - 1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n - 1).\]

Studentin \(t\)-jakauma, \(t(n)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = \R\)

Tiheysfunktio: \(f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{n\pi}}\dfrac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n}{2}\right)}\left(1+\dfrac{x^2}{n}\right)^{-\frac{n+1}{2}}\), missä \(\Gamma\) on Eulerin gammafunktio

Odotusarvo: \(\rE(X) = 0\), kun \(n > 1\)

Varianssi: \(\Var(X) = \dfrac{n}{n - 2}\), kun \(n > 2\)

Matlab, \(t(n)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   tpdf(x,n)
   tcdf(x,n)
   tinv(x,n)

R, \(t(n)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   dt(x,n)
   pt(x,n)
   qt(x,n)

Lisätietoja:

Englanniksi Student’s \(t\)-distribution.
Jos \(X \sim t(n)\), niin satunnaismuuttuja \(X\) on \(\tdist\)-jakautunut vapausastein \(n\) (degrees of freedom, df).
\(t\)-jakauma lähestyy standardinormaalijakaumaa \(\rN(0, 1)\), kun \(n\) kasvaa rajatta.
Jos \(X_1, X_2, \ldots, X_n\) on otos muuttujasta \(X \sim \rN(\mu, \sigma^2)\), niin

\[\frac{\overline{X} - \mu}{s/\sqrt{n}} \sim t(n - 1).\]

\(\rF\)-jakauma, \(\rF(n_1, n_2)\)¶

Otosavaruus: \(\Omega = [0, \infty)\)

Tiheysfunktio: \(f(x)=\dfrac{\Gamma\left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{n_2}{2}\right)}\left(\dfrac{n_1}{n_2}\right)^{\frac{n_1}{2}}x^{\frac{n_1 - 2}{2}}\left(1 + \dfrac{n_1}{n_2}x\right)^{-\frac{n_1+n_2}{2}}\), missä \(\Gamma\) on Eulerin gammafunktio

Odotusarvo: \(\rE(X) = \dfrac{n_2}{n_2 - 2}\), kun \(n_2 > 2\)

Varianssi: \(\Var(X) = \dfrac{2n_2^2(n_1 + n_2 - 2)}{n_1(n_2 - 2)^2(n_2 - 4)}\), kun \(n_2 > 4\)

Matlab, \(\rF(n1, n2)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   fpdf(x,n1,n2)
   fcdf(x,n1,n2)
   finv(x,n1,n2)

R, \(\rF(n1, n2)\) tiheys-, kertymäfunktio, kertymäfunktion käänteisfunktio

   df(x,n1,n2)
   pf(x,n1,n2)
   qf(x,n1,n2)

Lisätietoja:

Englanniksi \(\rF\)-distribution. Myös Fisherin jakauma tai Snedecorin jakauma.
Jos \(X \sim \rF(n_1, n_2)\), niin satunnaismuuttuja \(X\) on \(\rF\)-jakautunut vapausastein \(n_1\) ja \(n_2\) (degrees of freedom, df).
Jos \(X_1 \sim \chi^2(n_1)\) ja \(X_2 \sim \chi^2(n_2)\), niin

\[F = \frac{X_1/n_1}{X_2/n_2} \sim \rF(n_1, n_2)\qquad\text{ja}\qquad \frac{1}{F} \sim \rF(n_2, n_1).\]