\[\newcommand{\N}{\mathbb N}
\newcommand{\Z}{\mathbb Z}
\newcommand{\Q}{\mathbb Q}
\newcommand{\R}{\mathbb R}
\newcommand{\C}{\mathbb C}
\newcommand{\ba}{\mathbf{a}}
\newcommand{\bb}{\mathbf{b}}
\newcommand{\bc}{\mathbf{c}}
\newcommand{\bd}{\mathbf{d}}
\newcommand{\be}{\mathbf{e}}
\newcommand{\bff}{\mathbf{f}}
\newcommand{\bh}{\mathbf{h}}
\newcommand{\bi}{\mathbf{i}}
\newcommand{\bj}{\mathbf{j}}
\newcommand{\bk}{\mathbf{k}}
\newcommand{\bN}{\mathbf{N}}
\newcommand{\bn}{\mathbf{n}}
\newcommand{\bo}{\mathbf{0}}
\newcommand{\bp}{\mathbf{p}}
\newcommand{\bq}{\mathbf{q}}
\newcommand{\br}{\mathbf{r}}
\newcommand{\bs}{\mathbf{s}}
\newcommand{\bT}{\mathbf{T}}
\newcommand{\bu}{\mathbf{u}}
\newcommand{\bv}{\mathbf{v}}
\newcommand{\bw}{\mathbf{w}}
\newcommand{\bx}{\mathbf{x}}
\newcommand{\by}{\mathbf{y}}
\newcommand{\bz}{\mathbf{z}}
\newcommand{\bzero}{\mathbf{0}}
\newcommand{\nv}{\mathbf{0}}
\newcommand{\cA}{\mathcal{A}}
\newcommand{\cB}{\mathcal{B}}
\newcommand{\cC}{\mathcal{C}}
\newcommand{\cD}{\mathcal{D}}
\newcommand{\cE}{\mathcal{E}}
\newcommand{\cF}{\mathcal{F}}
\newcommand{\cG}{\mathcal{G}}
\newcommand{\cH}{\mathcal{H}}
\newcommand{\cI}{\mathcal{I}}
\newcommand{\cJ}{\mathcal{J}}
\newcommand{\cK}{\mathcal{K}}
\newcommand{\cL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\cM}{\mathcal{M}}
\newcommand{\cN}{\mathcal{N}}
\newcommand{\cO}{\mathcal{O}}
\newcommand{\cP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}}
\newcommand{\cR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\cS}{\mathcal{S}}
\newcommand{\cT}{\mathcal{T}}
\newcommand{\cU}{\mathcal{U}}
\newcommand{\cV}{\mathcal{V}}
\newcommand{\cW}{\mathcal{W}}
\newcommand{\cX}{\mathcal{X}}
\newcommand{\cY}{\mathcal{Y}}
\newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}}
\newcommand{\rA}{\mathrm{A}}
\newcommand{\rB}{\mathrm{B}}
\newcommand{\rC}{\mathrm{C}}
\newcommand{\rD}{\mathrm{D}}
\newcommand{\rE}{\mathrm{E}}
\newcommand{\rF}{\mathrm{F}}
\newcommand{\rG}{\mathrm{G}}
\newcommand{\rH}{\mathrm{H}}
\newcommand{\rI}{\mathrm{I}}
\newcommand{\rJ}{\mathrm{J}}
\newcommand{\rK}{\mathrm{K}}
\newcommand{\rL}{\mathrm{L}}
\newcommand{\rM}{\mathrm{M}}
\newcommand{\rN}{\mathrm{N}}
\newcommand{\rO}{\mathrm{O}}
\newcommand{\rP}{\mathrm{P}}
\newcommand{\rQ}{\mathrm{Q}}
\newcommand{\rR}{\mathrm{R}}
\newcommand{\rS}{\mathrm{S}}
\newcommand{\rT}{\mathrm{T}}
\newcommand{\rU}{\mathrm{U}}
\newcommand{\rV}{\mathrm{V}}
\newcommand{\rW}{\mathrm{W}}
\newcommand{\rX}{\mathrm{X}}
\newcommand{\rY}{\mathrm{Y}}
\newcommand{\rZ}{\mathrm{Z}}
\newcommand{\pv}{\overline}
\newcommand{\iu}{\mathrm{i}}
\newcommand{\ju}{\mathrm{j}}
\newcommand{\im}{\mathrm{i}}
\newcommand{\e}{\mathrm{e}}
\newcommand{\real}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\imag}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\Arg}{\operatorname{Arg}}
\newcommand{\Ln}{\operatorname{Ln}}
\DeclareMathOperator*{\res}{res}
\newcommand{\re}{\operatorname{Re}}
\newcommand{\im}{\operatorname{Im}}
\newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}}
\newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}}
\newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}}
\newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}}
\newcommand{\diag}{\operatorname{diag}}
\newcommand{\proj}{\operatorname{proj}}
\newcommand{\rref}{\operatorname{rref}}
\newcommand{\rank}{\operatorname{rank}}
\newcommand{\Span}{\operatorname{span}}
\newcommand{\vir}{\operatorname{span}}
\renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}}
\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}}
\newcommand{\geom}{\operatorname{geom}}
\newcommand{\id}{\operatorname{id}}
\newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert}
\newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}}
\renewcommand{\d}{\mathrm{d}}
\newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}}
\newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert}
\newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]}
\newcommand{\piste}{\cdot}
\newcommand{\qedhere}{}
\newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]}
\newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]}
\newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}
\newcommand{\trans}{\mathrm{T}}
\newcommand{\EUR}{\text{\unicode{0x20AC}}}
\newcommand{\SI}[3][]{#2\,\mathrm{#3}}
\newcommand{\si}[2][]{\mathrm{#2}}
\newcommand{\num}[2][]{#2}
\newcommand{\ang}[2][]{#2^{\circ}}
\newcommand{\meter}{m}
\newcommand{\metre}{\meter}
\newcommand{\kilo}{k}
\newcommand{\kilogram}{kg}
\newcommand{\gram}{g}
\newcommand{\squared}{^2}
\newcommand{\cubed}{^3}
\newcommand{\minute}{min}
\newcommand{\hour}{h}
\newcommand{\second}{s}
\newcommand{\degreeCelsius}{^{\circ}C}
\newcommand{\per}{/}
\newcommand{\centi}{c}
\newcommand{\milli}{m}
\newcommand{\deci}{d}
\newcommand{\percent}{\%}
\newcommand{\Var}{\operatorname{Var}}
\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}
\newcommand{\Corr}{\operatorname{Corr}}
\newcommand{\Tasd}{\operatorname{Tasd}}
\newcommand{\Ber}{\operatorname{Ber}}
\newcommand{\Bin}{\operatorname{Bin}}
\newcommand{\Geom}{\operatorname{Geom}}
\newcommand{\Poi}{\operatorname{Poi}}
\newcommand{\Hyperg}{\operatorname{Hyperg}}
\newcommand{\Tas}{\operatorname{Tas}}
\newcommand{\Exp}{\operatorname{Exp}}
\newcommand{\tdist}{\operatorname{t}}
\newcommand{\rd}{\mathrm{d}}\]
Sarja
Esimerkki 5.3.2
Sarjan
\[\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\cdots=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}\]
neljä ensimmäistä osasummaa ovat
\[\begin{split}\begin{aligned}
S_1&=\frac12, \\
S_2&=\frac12+\frac14=\frac34, \\
S_3&=\frac12+\frac14+\frac18=\frac{7}{8}, \\
S_4&=\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}=\frac{15}{16}.
\end{aligned}\end{split}\]
Minkä tahansa sarjan osasummista voidaan nyt muodostaa lukujono \(S_1,S_2,\ldots\), jota voidaan käsitellä edellisen osion keinoin. Mikäli sarjan osasummista muodostettu lukujono suppenee, on luonnollista sanoa, että tällöin myös osasummia vastaava sarja suppenee ja määritellä muodollisen summan arvoksi lukujonon raja-arvo.
Esimerkki 5.3.4
Osoita, että
\(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots\)
suppenee.
Piilota/näytä ratkaisu
Muodostamalla osamurtokehitelmä nähdään, että yleinen termi voidaan kirjoittaa muodossa
\[a_k=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1},\]
joten osasumma
\[\begin{split}\begin{aligned}
S_n&=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac13\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac14\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\
&=1-\frac{1}{n+1}\to1,
\end{aligned}\end{split}\]
kun \(n\to\infty\). Siten sarja suppenee ja \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{k(k+1)}=1\).
Esimerkki 5.3.5
Osoita, että sarja \(\sum\limits_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}=1-1+1-1+\cdots\) hajaantuu.
Piilota/näytä ratkaisu
Ensimmäiset osasummat ovat
\[\begin{split}\begin{aligned}
S_1&=1, \\
S_2&=1-1=0, \\
S_3&=1-1+1=1, \\
S_4&=1-1+1-1=0.
\end{aligned}\end{split}\]
Nähdään, että osasummien jono on \((1,0,1,0,1,0,\ldots)\), jolla ei ole raja-arvoa.
Huomautus 5.3.6
Sarjan indeksointi voidaan aloittaa muustakin indeksistä kuin \(1\). Esimerkiksi
\[\sum_{i=5}^\infty\frac{1}{(i-4)^2}=1+\frac14+\frac19+\cdots.\]
Tämän sarjan osasummat ovat
\[S_5=1,\quad S_6=1+\frac14=\frac54,\quad S_7=1+\frac14+\frac19=\frac{49}{36},\quad\ldots.\]
Jos geometrisen sarjan ensimmäistä termiä merkitään kirjaimella \(a\), niin sarjan termit ovat \(a_0=a\), \(a_1=ar\), \(a_2=ar^2\), \(a_3=ar^3,\ldots\) Niinpä geometrinen sarja voidaan kirjoittaa muodossa
(1)\[\sum_{k=0}^\infty ar^k=a+ar+ar^2+ar^3+\cdots.\]
Huomaa, että tässä ensimmäinen indeksi on \(k=0\).
Lause 5.3.8
Jos suhdeluku toteuttaa ehdon \(|r|<1\), niin geometrinen sarja (1) suppenee ja
\[\sum_{k=0}^\infty ar^k=\frac{a}{1-r}.\]
Jos taas suhdeluku \(|r|\ge1\) ja \(a\ne0\), niin geometrinen sarja hajaantuu.
Piilota/näytä todistus
Kirjoitetaan \(n\):s osasumma ja kerrotaan yhtälö puolittain suhdeluvulla, jolloin saadaan
\[\begin{split}\begin{aligned}
S_n&=a+ar+ar^2+\cdots+ar^n,\\
rS_n&=ar+ar^2+\cdots+ar^n+ar^{n+1}.
\end{aligned}\end{split}\]
Vähentämällä nämä yhtälöt puolittain saadaan
\[(1-r)S_n=a-ar^{n+1},\]
joten
\[\begin{split}S_n=
\begin{cases}
\dfrac{a(1-r^{n+1})}{1-r},&\text{kun }r\ne1,\\
(n+1)a,&\text{kun }r=1.
\end{cases}\end{split}\]
Kun \(|r|<1\), niin
\[\lim\limits_{n\to\infty}r^{n+1}=0,\]
joten
\[S=\lim_{n\to\infty}S_n=\frac{a}{1-r}.\]
Kun \(|r|>1\), niin raja-arvoa \(\lim\limits_{n\to\infty}r^{n+1}\)
ei ole olemassa ja silloin sarja hajaantuu, mikäli \(a\ne0\). Myös tapauksissa \(r=\pm1\), \(a\ne0\), sarja hajaantuu.
Geometrisen sarjan osasummaa \(S_n\) kutsutaan geometriseksi summaksi, jolle edellisen todistuksen mukaan
\[\sum_{k=0}^nar^k=a+ar+ar^2+\cdots+ar^n=\frac{a(1-r^{n+1})}{1-r},\]
kun \(r \not= 1\).
Esimerkki 5.3.9
Sarja
\[\dfrac12+\dfrac14+\dfrac18+\dfrac{1}{16}+\cdots=\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}\]
on geometrinen sarja, jonka suhdeluku \(r=\frac{1}{2}\). Tällöin
\[\begin{aligned}
\sum_{k=1}^\infty\frac{1}{2^k}&= \sum_{k=0}^\infty\frac{1}{2^k}-1
=\frac{1}{1-\frac{1}{2}}-1=1.
\end{aligned}\]
Sarja
\[2-4+8-16+\cdots=\sum_{k=0}^\infty2(-2)^k\]
on geometrinen sarja, jonka suhdeluku \(r=-2\) ja \(a = 2\). Sarja siis hajaantuu.
Sarja \(\displaystyle\sum_{k=2}^\infty\frac{2^{k+1}}{5^k}\) on suppeneva geometrinen sarja, sillä voidaan laskea, että
\[\begin{split}\begin{aligned}
\sum_{k=2}^\infty\frac{2^{k+1}}{5^k}
&=\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{k+1}}{5^k}-\frac{2^{1+1}}{5^1}-\frac{2^{0+1}}{5^0}\\
&=\sum_{k=0}^\infty2\left(\frac{2}{5}\right)^k-\frac{4}{5}-2\\
&=\frac{2}{1-\frac{2}{5}}-\frac{4}{5}-2\\
&=\frac{8}{15}.
\end{aligned}\end{split}\]
Koska sarjan arvo on sen osasummien jonon raja-arvo, seuraava perustulos seuraa suoraan lukujonon raja-arvon laskusäännöistä.
Lause 5.3.10
Jos sarjat \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) ja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}b_k\) suppenevat ja \(c\in \R\), niin myös sarjat \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}ca_k\) ja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}(a_k+b_k)\) suppenevat. Lisäksi
\[\sum_{k = 1}^{\infty}ca_k=c\sum_{k = 1}^{\infty}a_k\qquad\text{ja}\qquad\sum_{k = 1}^{\infty}(a_k+b_k)=\sum_{k = 1}^{\infty}a_k+\sum_{k = 1}^{\infty}b_k.\]
Esimerkki 5.3.11
Lauseen 5.3.10 avulla saadaan
\[\begin{split}\begin{aligned}
\sum_{k=1}^\infty\left(2\left(-\frac13\right)^k+\frac{\pi}{e^k}\right)
&=2\sum_{k=1}^\infty\left(-\frac13\right)^k+\pi\sum_{k=1}^\infty\left(\frac{1}{e}\right)^k\\
&=2\sum_{k=0}^\infty\left(-\frac13\right)^k-2+\pi\sum_{k=0}^\infty\left(\frac{1}{e}\right)^k-\pi\\
&=\frac{2}{1+\frac13}-2+\frac{\pi}{1-\frac{1}{e}}-\pi\\
&=-\frac12+\frac{\pi}{e-1}.
\end{aligned}\end{split}\]
Lause 5.3.12
Jos sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) suppenee, niin \(\lim\limits_{k\to\infty}a_k=0\).
Piilota/näytä todistus
Merkitään \(S=\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\). Tällöin \(S=\lim\limits_{n \to \infty} S_n=\lim\limits_{n \to \infty} S_{n-1}\), joten
\[\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} (S_n-S_{n-1})= S-S=0.\qedhere\]
Seuraus 5.3.13
Jos \(\lim\limits_{k \to \infty}a_k\ne0\) tai raja-arvoa ei ole olemassa, niin sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) hajaantuu.
Huomautus 5.3.14
Lauseen 5.3.12 käänteinen väite ei päde, eli kyseessä on vain välttämätön ehto. Siis sarja \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty} a_k\) voi hajaantua, vaikka olisi \(\lim\limits_{k \to \infty} a_k=0\). Esimerkiksi tästä käy harmoninen sarja, jonka hajaantuminen voidaan osoittaa integraalitestin avulla.
Esimerkki 5.3.15
Sarja \(\displaystyle\sum_{k=1}^\infty\frac{k-1}{k}\) hajaantuu, sillä
\[\dfrac{k-1}{k}=1-\dfrac{1}{k}\to1\ne0,\]
kun \(k \to \infty\).
Seuraava lause toteaa sen ilmeisen seikan, että suppenevan sarjan summa \(S\) voidaan jakaa osiin, eli
\[S=\underbrace{a_1+a_2+\cdots+a_n}_{=S_n}+\underbrace{a_{n+1}+a_{n+2}+\cdots}_{=R_n}=S_n+R_n,\]
kun \(n \geq 0\).
Lause 5.3.17
Sarja \(\sum\limits_{k = 1}^\infty a_k\) suppenee, jos ja vain jos jäännöstermi \(R_n=\sum\limits_{k = n + 1}^{\infty}a_k\) suppenee kaikilla \(n \geq 0\). Suppenevassa tapauksessa
(2)\[S = \sum_{k=1}^\infty a_k=\sum_{k=1}^na_k+\sum_{k=n+1}^\infty a_k = S_n + R_n\]
mielivaltaisella \(n \geq 0\).
Piilota/näytä todistus
”\(\Rightarrow\)” Oletetaan, että \(\sum\limits_{k = 1}^{\infty}a_k\) suppenee. Tällöin on olemassa raja-arvo
\[S - S_n = \lim_{m \to \infty}S_m - S = \lim_{m \to \infty}(S_m - S_n).\]
Jos nyt \(m > n\), niin
\[S - S_n = \lim_{m \to \infty}\sum_{k = n + 1}^{m}a_k = \sum_{k = n + 1}^{\infty}a_k = R_n.\]
”\(\Leftarrow\)” Oletetaan, että jäännöstermi \(R_n\) suppenee jokaisella \(n \geq 0\). Tällöin jäännöstermi \(R_0\) on itse asiassa koko sarja, joten väite on tosi.
Lauseen 5.3.17 mukaisesta jäännöstermien ja sarjan suppenemisen yhtäpitävyydestä seuraa erityisesti, että mikään äärellinen määrä sarjan alkupään termejä ei vaikuta sarjan suppenemiseen.
Huomautus 5.3.18
Jäännöstermin itseisarvo \(|R_n|\) on se virhe, joka syntyy, kun sarjaa \(\sum_{k=1}^\infty a_k\) arvioidaan osasummalla \(S_n\).