- MATH.APP.160
- 4. Toisen ja korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
- 4.3 Korkeamman kertaluvun lineaariyhtälö
Korkeamman kertaluvun lineaariyhtälö¶
Siirrytään tarkastelemaan n. kertaluvun lineaarista differentiaaliyhtälöä
missä funktiot pi(x), i=1,2,…,n ja f(x) ovat jatkuvia avoimella välillä I. Yllä esitetyn lineaarisen yhtälön sanotaan olevan normaalimuodossa. Jos f(x)≠0 jossakin välin I pisteessä x, niin tätä yhtälöä kutsutaan epähomogeeniseksi, ja jos f(x)=0 aina, kun x∈I, niin kyseessä on homogeeninen yhtälö.
Jokaista positiivista kertalukua n oleva lineaarinen yhtälö toteuttaa alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen, kun alkuehtoja on n kappaletta.
Lause 4.3.1
Olkoon x0 välin I piste, sekä b0,b1,…,bn−1 reaalilukuja. Tällöin n. kertaluvun lineaarisella differentiaaliyhtälöllä (1) on täsmälleen yksi alkuehdot
toteuttava ratkaisu y(x) välillä I.
Luvussa ?? esitellyt toisen kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä koskevat tulokset ja niiden todistukset toisen kertaluvun yhtälölle yleistyvät melko suoraviivaisesti n. kertaluvun yhtälölle.
Lause 4.3.2
Olkoot funktiot y1,y2,…,yn homogeenisen yhtälön ratkaisuja välillä I sekä olkoot c1,c2,…,cn reaalilukuja. Tällöin myös lineaarikombinaatio
on homogeenisen yhtälön ratkaisu välillä I.
Määritelmä 4.3.3
Funktiot y1,y2,…,yn:I→R ovat lineaarisesti riippumattomia välillä I, jos
aina, kun x∈I vain, jos c1=c2=⋯=cn=0. Muutoin y1,y2,…,yn ovat lineaarisesti riippuvia.
Funktiot y1,y2,…,yn ovat siis lineaarisesti riippuvia silloin, kun löydetään sellaiset kertoimet ci, joista jokin poikkeaa nollasta, että c1y1(x)+c2y2(x)+⋯+cnyn(x)=0 jokaisessa välin I pisteessä x. Tämä tarkoittaa myös sitä, että yksi funktioista voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa
missä ci≠0.
Määritelmä 4.3.4
Olkoon jokainen funktioista y1,y2,…,yn:I→R yhteensä n−1 kertaa derivoituva avoimella välillä I. Funktioiden y1,y2,…,yn Wronskin determinantti on funktio
missä x∈I.
Lause 4.3.5
Olkoot y1,y2,…,yn homogeenisen yhtälön ratkaisuja välillä I ja olkoon W(x) niiden Wronskin determinantti. Silloin seuraavat väitteet ovat voimassa.
- Jos y1,y2,…,yn ovat lineaarisesti riippuvia, niin W(x)=0 aina, kun x∈I.
- Jos y1,y2,…,yn ovat lineaarisesti riippumattomia, niin W(x)≠0 aina, kun x∈I.
Lause 4.3.6
Olkoot y1,y2,…,yn homogeenisen yhtälön lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja välillä I, sekä c1,c2,…,cn reaalilukuja. Silloin lineaarikombinaatio
on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä I.
Lause 4.3.7
Jos yh=c1y1+c2y2+⋯+cnyn on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja yp on epähomogeenisen yhtälön jokin yksittäisratkaisu, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on
Esimerkki 4.3.8
Osoita, että y1(x)=x, y2(x)=xlnx ja y3(x)=x2 ovat yhtälön
lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja välillä (0,∞) ja hae alkuehdot
toteuttava ratkaisu y.
Esimerkiksi y2 on ratkaisu, sillä
ja sijoittamalla nähdään näiden toteuttavan yhtälön. Vastaavalla tavoin y1 ja y3 todetaan ratkaisuiksi. Lasketaan sitten Wronskin determinantti. Nyt
Välillä (0,∞) on W(x)≠0, joten y1, y2 ja y3 eivät voi olla lineaarisesti riippuvia. Ne ovat siis lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, ja siten yleinen ratkaisu on
jolle
Annetut alkuehdot toteuttavalle ratkaisulle on voimassa
josta ratkaistaan c1=1, c2=−3 ja c3=2. Haettu ratkaisu on siis
Keskitytään seuraavaksi vakiokertoimiseen yhtälöön.
Määritelmä 4.3.9
Olkoot a1,a2,…,an−1,an reaalilukuvakioita ja an≠0. Vakiokertoimiseen homogeeniseen yhtälöön
liittyvä karakteristinen yhtälö on
Lause 4.3.10
Karakteristisen yhtälön (3) juurten λ avulla löydetään vakiokertoimisen homogeenisen yhtälön (2) n lineaarisesti riippumattomatonta ratkaisua seuraavasti.
Jos λ on k-kertainen reaalijuuri, niin funktiot
eλx,xeλx,x2eλx,…,xk−1eλxovat lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. Tapauksessa k=1 ratkaisu on eλx.
Jos λ=α±iβ on k-kertainen imaginaarijuuripari, niin
eαxsin(βx),xeαxsin(βx),…xk−1eαxsin(βx)jaeαxcos(βx),xeαxcos(βx),…xk−1eαxcos(βx)ovat lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. Tapauksessa k=1 ratkaisut ovat
eαxsin(βx)jaeαxcos(βx).
Yhteensä n kappaletta edellisten kohtien ratkaisuja ovat lineaarisesti riippumattomia.
Tehdään ratkaisuyrite y=eλx. Tällöin
Sijoitetaan nämä ratkaistavaan yhtälöön (2), jolloin
Kompleksitasossa tällä n. asteen polynomiyhtälöllä on monikerrat huomioiden n juurta. Koska polynomi on reaalikertoiminen, niin mahdolliset imaginaarijuuret esiintyvät liittolukupareittain α±iβ. Haetaan nyt differentiaaliyhtälölle lineaarisesti riippumattomia reaalisia ratkaisuja.
Jos λ on yksinkertainen reaalijuuri, niin ekvivalenssin (4) mukaan y=eλx on ratkaisu. Jos λ on k-kertainen reaalijuuri, niin mainitut funktiot ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia. Ratkaisuiksi ne nähdään suoraan sijoittamalla. Tarkempi todistus sivuutetaan teknisenä, mutta kokeile kuitenkin esimerkin vuoksi funktiota y=xeλx kolmannen kertaluvun yhtälölle.
Jos λ=α±iβ on yksinkertainen imaginaarijuuripari, niin ekvivalenssin (4) mukaan
y=eλx=eαxcos(βx)+ieαxsin(βx)on differentiaaliyhtälön imaginaarinen ratkaisu. Sen reaali- ja imaginaariosat ovat myös (lineaarisesti riippumattomia) ratkaisuja (vrt. lemmaan 4.2.15 reaali- ja imaginaariosista). Yleisempi todistus sivuutetaan.
Yhteensä n kappaletta näiden kohtien ratkaisuja ovat varsin selvästi lineaarisesti riippumattomia.
Esimerkki 4.3.11
Ratkaise differentiaaliyhtälö 9y(5)−6y(4)+y(3)=0.
Yhtälö on 5. kertaluvun vakiokertoiminen homogeeninen yhtälö, jonka karakteristisen yhtälön
ratkaisut ovat λ=0 kolminkertaisena ja λ=13 kaksinkertaisena. Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis
Epähomogeenisen vakiokertoimisen yhtälön yksittäisratkaisua voidaan yrittää hakea samantapaisilla yritteillä kuin 2. kertaluvun epähomogeeniseen yhtälöön liittyvässä taulukossa.
Esimerkki 4.3.12
Ratkaise differentiaaliyhtälö y‴+9y′=sinx.
Yhtälö on 3. kertaluvun vakiokertoiminen lineaariyhtälö. Vastaavan homogeenisen yhtälön karakteristisen yhtälön
juuret ovat λ=0 ja λ=±3i. Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on siten
Haetaan epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisua yritteellä yp=Acosx+Bsinx. Derivoimalla saadaan
jolloin yp on ratkaisu vain, jos
Näin ollen A=−18 ja B=0, joten yhtälön yleinen ratkaisu on
Esimerkki 4.3.13
Ratkaistaan esimerkin 4.3.12 differentiaaliyhtälö MATLABilla. Vastaukset eivät aina ole kovin sievässä muodossa, joten niitä täytyy osata tulkita oikein. Lisäksi ratkaistaan kyseinen differentiaaliyhtälö alkuehdoilla y(0)=0, y′(0)=1 ja y″(0)=0.
Kirjoittamalla komentoriville
dsolve('D3y+9*Dy=sin(x)','x');
simplify(ans)
saadaan vastaukseksi
ans = cos(3*x)/8 - C2/9 - cos(x)/8 - (C2*cos(3*x))/9
+ C3*cos(3*x) + C4*sin(3*x).
Alkuarvotehtävä ratkaistaan vastaavasti:
dsolve('D3y+9*Dy=sin(x),y(0)=0,Dy(0)=1,D2y(0)=0','x');
simplify(ans)
jolloin vastaukseksi saadaan
ans = cos(3*x)/72 + sin(3*x)/3 - cos(x)/8 + 1/9.