Processing math: 100%

Korkeamman kertaluvun lineaariyhtälö

Siirrytään tarkastelemaan n. kertaluvun lineaarista differentiaaliyhtälöä

(1)y(n)+p1(x)y(n1)++pn1(x)y+pn(x)y=f(x),

missä funktiot pi(x), i=1,2,,n ja f(x) ovat jatkuvia avoimella välillä I. Yllä esitetyn lineaarisen yhtälön sanotaan olevan normaalimuodossa. Jos f(x)0 jossakin välin I pisteessä x, niin tätä yhtälöä kutsutaan epähomogeeniseksi, ja jos f(x)=0 aina, kun xI, niin kyseessä on homogeeninen yhtälö.

Jokaista positiivista kertalukua n oleva lineaarinen yhtälö toteuttaa alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen, kun alkuehtoja on n kappaletta.

Lause 4.3.1

Olkoon x0 välin I piste, sekä b0,b1,,bn1 reaalilukuja. Tällöin n. kertaluvun lineaarisella differentiaaliyhtälöllä (1) on täsmälleen yksi alkuehdot

y(x0)=b0,y(x0)=b1,y(n1)(x0)=bn1

toteuttava ratkaisu y(x) välillä I.

Luvussa ?? esitellyt toisen kertaluvun lineaarisia differentiaaliyhtälöitä koskevat tulokset ja niiden todistukset toisen kertaluvun yhtälölle yleistyvät melko suoraviivaisesti n. kertaluvun yhtälölle.

Lause 4.3.2

Olkoot funktiot y1,y2,,yn homogeenisen yhtälön ratkaisuja välillä I sekä olkoot c1,c2,,cn reaalilukuja. Tällöin myös lineaarikombinaatio

y=c1y1+c2y2++cnyn

on homogeenisen yhtälön ratkaisu välillä I.

Määritelmä 4.3.3

Funktiot y1,y2,,yn:IR ovat lineaarisesti riippumattomia välillä I, jos

c1y1(x)+c2y2(x)++cnyn(x)=0

aina, kun xI vain, jos c1=c2==cn=0. Muutoin y1,y2,,yn ovat lineaarisesti riippuvia.

Funktiot y1,y2,,yn ovat siis lineaarisesti riippuvia silloin, kun löydetään sellaiset kertoimet ci, joista jokin poikkeaa nollasta, että c1y1(x)+c2y2(x)++cnyn(x)=0 jokaisessa välin I pisteessä x. Tämä tarkoittaa myös sitä, että yksi funktioista voidaan esittää muiden lineaarikombinaationa

yi=c1ciy1c2ciy2cnciyn,

missä ci0.

Määritelmä 4.3.4

Olkoon jokainen funktioista y1,y2,,yn:IR yhteensä n1 kertaa derivoituva avoimella välillä I. Funktioiden y1,y2,,yn Wronskin determinantti on funktio

W(x)=|y1(x)y2(x)yn(x)y1(x)y2(x)yn(x)y(n1)1(x)y(n1)2(x)y(n1)n(x)|,

missä xI.

Lause 4.3.5

Olkoot y1,y2,,yn homogeenisen yhtälön ratkaisuja välillä I ja olkoon W(x) niiden Wronskin determinantti. Silloin seuraavat väitteet ovat voimassa.

  1. Jos y1,y2,,yn ovat lineaarisesti riippuvia, niin W(x)=0 aina, kun xI.
  2. Jos y1,y2,,yn ovat lineaarisesti riippumattomia, niin W(x)0 aina, kun xI.

Lause 4.3.6

Olkoot y1,y2,,yn homogeenisen yhtälön lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja välillä I, sekä c1,c2,,cn reaalilukuja. Silloin lineaarikombinaatio

y=c1y1+c2y2++cnyn

on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu välillä I.

Lause 4.3.7

Jos yh=c1y1+c2y2++cnyn on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja yp on epähomogeenisen yhtälön jokin yksittäisratkaisu, niin epähomogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on

y=yh+yp=c1y1+c2y2++cnyn+yp.

Esimerkki 4.3.8

Osoita, että y1(x)=x, y2(x)=xlnx ja y3(x)=x2 ovat yhtälön

y1xy+2x2y2x3y=0

lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja välillä (0,) ja hae alkuehdot

y(1)=3,y(1)=2jay(1)=1

toteuttava ratkaisu y.

Piilota/näytä ratkaisu

Esimerkiksi y2 on ratkaisu, sillä

y2=lnx+1,y2=1xjay2=1x2,

ja sijoittamalla nähdään näiden toteuttavan yhtälön. Vastaavalla tavoin y1 ja y3 todetaan ratkaisuiksi. Lasketaan sitten Wronskin determinantti. Nyt

W(x)=|xxlnxx21lnx+12x01x2|=x(2lnx+22)2xlnx+x=x.

Välillä (0,) on W(x)0, joten y1, y2 ja y3 eivät voi olla lineaarisesti riippuvia. Ne ovat siis lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja, ja siten yleinen ratkaisu on

y=c1x+c2xlnx+c3x2,

jolle

y=c1+c2(lnx+1)+2c3xjay=c2x+2c3.

Annetut alkuehdot toteuttavalle ratkaisulle on voimassa

{y(1)=c1+c3=3y(1)=c1+c2+2c3=2y(1)=c2+2c3=1,

josta ratkaistaan c1=1, c2=3 ja c3=2. Haettu ratkaisu on siis

y(x)=x3xlnx+2x2.

Keskitytään seuraavaksi vakiokertoimiseen yhtälöön.

Määritelmä 4.3.9

Olkoot a1,a2,,an1,an reaalilukuvakioita ja an0. Vakiokertoimiseen homogeeniseen yhtälöön

(2)any(n)+an1y(n1)++a1y+a0y=0

liittyvä karakteristinen yhtälö on

(3)anλn+an1λn1++a1λ+a0=0.

Lause 4.3.10

Karakteristisen yhtälön (3) juurten λ avulla löydetään vakiokertoimisen homogeenisen yhtälön (2) n lineaarisesti riippumattomatonta ratkaisua seuraavasti.

  1. Jos λ on k-kertainen reaalijuuri, niin funktiot

    eλx,xeλx,x2eλx,,xk1eλx

    ovat lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. Tapauksessa k=1 ratkaisu on eλx.

  2. Jos λ=α±iβ on k-kertainen imaginaarijuuripari, niin

    eαxsin(βx),xeαxsin(βx),xk1eαxsin(βx)jaeαxcos(βx),xeαxcos(βx),xk1eαxcos(βx)

    ovat lineaarisesti riippumattomia ratkaisuja. Tapauksessa k=1 ratkaisut ovat

    eαxsin(βx)jaeαxcos(βx).

Yhteensä n kappaletta edellisten kohtien ratkaisuja ovat lineaarisesti riippumattomia.

Piilota/näytä todistus

Tehdään ratkaisuyrite y=eλx. Tällöin

y=λeλx,y=λ2eλx,y(n)=λneλx.

Sijoitetaan nämä ratkaistavaan yhtälöön (2), jolloin

(4)(anλn+an1λn1++a1λ+a0)eλx=0anλn+an1λn1++a1λ+a0=0.

Kompleksitasossa tällä n. asteen polynomiyhtälöllä on monikerrat huomioiden n juurta. Koska polynomi on reaalikertoiminen, niin mahdolliset imaginaarijuuret esiintyvät liittolukupareittain α±iβ. Haetaan nyt differentiaaliyhtälölle lineaarisesti riippumattomia reaalisia ratkaisuja.

  1. Jos λ on yksinkertainen reaalijuuri, niin ekvivalenssin (4) mukaan y=eλx on ratkaisu. Jos λ on k-kertainen reaalijuuri, niin mainitut funktiot ovat selvästi lineaarisesti riippumattomia. Ratkaisuiksi ne nähdään suoraan sijoittamalla. Tarkempi todistus sivuutetaan teknisenä, mutta kokeile kuitenkin esimerkin vuoksi funktiota y=xeλx kolmannen kertaluvun yhtälölle.

  2. Jos λ=α±iβ on yksinkertainen imaginaarijuuripari, niin ekvivalenssin (4) mukaan

    y=eλx=eαxcos(βx)+ieαxsin(βx)

    on differentiaaliyhtälön imaginaarinen ratkaisu. Sen reaali- ja imaginaariosat ovat myös (lineaarisesti riippumattomia) ratkaisuja (vrt. lemmaan 4.2.15 reaali- ja imaginaariosista). Yleisempi todistus sivuutetaan.

Yhteensä n kappaletta näiden kohtien ratkaisuja ovat varsin selvästi lineaarisesti riippumattomia.

Esimerkki 4.3.11

Ratkaise differentiaaliyhtälö 9y(5)6y(4)+y(3)=0.

Piilota/näytä ratkaisu

Yhtälö on 5. kertaluvun vakiokertoiminen homogeeninen yhtälö, jonka karakteristisen yhtälön

9λ56λ4+λ3=λ3(9λ26λ+1)=9λ3(λ13)2=0

ratkaisut ovat λ=0 kolminkertaisena ja λ=13 kaksinkertaisena. Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siis

y=c1e0x+c2xe0x+c3x2e0x+c4ex3+c5xex3=c1+c2x+c3x2+c4ex3+c5xex3.

Epähomogeenisen vakiokertoimisen yhtälön yksittäisratkaisua voidaan yrittää hakea samantapaisilla yritteillä kuin 2. kertaluvun epähomogeeniseen yhtälöön liittyvässä taulukossa.

Esimerkki 4.3.12

Ratkaise differentiaaliyhtälö y+9y=sinx.

Piilota/näytä ratkaisu

Yhtälö on 3. kertaluvun vakiokertoiminen lineaariyhtälö. Vastaavan homogeenisen yhtälön karakteristisen yhtälön

λ3+9λ=λ(λ2+9)=0

juuret ovat λ=0 ja λ=±3i. Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on siten

yh=c1+c2sin(3x)+c3cos(3x).

Haetaan epähomogeenisen yhtälön yksittäisratkaisua yritteellä yp=Acosx+Bsinx. Derivoimalla saadaan

yp=Asinx+Bcosx, yp=AcosxBsinx, yp=AsinxBcosx,

jolloin yp on ratkaisu vain, jos

AsinxBcosx+9(Asinx+Bcosx)=8Asinx+8Bcosx=sinx.

Näin ollen A=18 ja B=0, joten yhtälön yleinen ratkaisu on

y=yh+yp=c1+c2sin(3x)+c3cos(3x)18cosx.

Esimerkki 4.3.13

Ratkaistaan esimerkin 4.3.12 differentiaaliyhtälö MATLABilla. Vastaukset eivät aina ole kovin sievässä muodossa, joten niitä täytyy osata tulkita oikein. Lisäksi ratkaistaan kyseinen differentiaaliyhtälö alkuehdoilla y(0)=0, y(0)=1 ja y(0)=0.

Kirjoittamalla komentoriville

dsolve('D3y+9*Dy=sin(x)','x');
simplify(ans)

saadaan vastaukseksi

ans = cos(3*x)/8 - C2/9 - cos(x)/8 - (C2*cos(3*x))/9
+ C3*cos(3*x) + C4*sin(3*x).

Alkuarvotehtävä ratkaistaan vastaavasti:

dsolve('D3y+9*Dy=sin(x),y(0)=0,Dy(0)=1,D2y(0)=0','x');
simplify(ans)

jolloin vastaukseksi saadaan

ans = cos(3*x)/72 + sin(3*x)/3 - cos(x)/8 + 1/9.
Palautusta lähetetään...