- MATH.APP.120
- 2. Kompleksiluvut
- 2.8 Sovellus: vaihtovirtapiirien mallintaminen
Sovellus: vaihtovirtapiirien mallintaminen¶
Vaihtovirtapiirissä kulkee ajasta t riippuva virta
missä I0 on virran maksimiarvo eli amplitudi ja ω värähtelyn kulmanopeus. Piirin jännite riippuu sen resistanssista R (vastus), kapasitanssista C (kondensaattori) ja induktanssista L (käämi). Oletetaan ensin, että piirissä on vain yksi näistä komponenteista, jolloin sähkömagnetismin lakien avulla jännitteeksi voidaan johtaa
Jokaisessa tapauksessa sinifunktio toimii lausekkeelle ωt+φ, missä lukua φ kutsutaan jännitteen vaihekulmaksi. Pelkän vastuksen aiheuttaman vaihtojännitteen sanotaan olevan samassa vaiheessa kuin virta, sillä niiden vaihekulmat ovat samat. Kondensaattori myöhäistää jännitteen värähtelyä verrattuna virtaan, ja tällöin vaihe-ero on −π2. Vastaavasti käämi aikaistaa jännitettä suhteessa virtaan, eli vaihe-ero on π2. Seuraavat kuvaajat havainnollistavat kutakin jännitettä suhteessa harmaalla piirrettyyn vaihtovirtaan.
Eulerin kaavan mukaan sin(ωt) on myös kompleksiluvun eiωt imaginaariosa:
Eri komponenttien aiheuttamat jännitteetkin voidaan siis muotoilla samoin. Koska on voimassa e−iπ2=−i ja eiπ2=i, niin
Määritellään resistiivinen, kapasitatiivinen ja induktiivinen impedanssi
sekä kompleksinen impedanssi
Tällöin kussakin edellisistä tapauksista jännite voidaan esitettää muodossa
missä X viittaa tunnukseen R, C tai L, ja kaikki komponentit sisältävässä RLC-piirissä kokonaisjännite on
Koska piirin vastus R=ReZ>0, kompleksiluku Z sijaitsee imaginaariakselin oikealle puolelle jäävässä puolitasossa. Tällöin luvulla Z on napakoordinaattiesitys Z=|Z|eiφ, missä
Niinpä RLC-piirin kokonaisjännite on
Jännitteen vaihekulma φ on siis piirin kompleksisen impedanssin argumentti. Lisäksi skaalauskertoimena toimivaa itseisarvoa
kutsutaan LCR-piirin impedanssiksi.