Processing math: 100%
Tämä kurssi on jo päättynyt.

Sovellus: vaihtovirtapiirien mallintaminen

Vaihtovirtapiirissä kulkee ajasta t riippuva virta

I(t)=I0sin(ωt),

missä I0 on virran maksimiarvo eli amplitudi ja ω värähtelyn kulmanopeus. Piirin jännite riippuu sen resistanssista R (vastus), kapasitanssista C (kondensaattori) ja induktanssista L (käämi). Oletetaan ensin, että piirissä on vain yksi näistä komponenteista, jolloin sähkömagnetismin lakien avulla jännitteeksi voidaan johtaa

VR(t)=RI0sin(ωt)vastukselle,VC(t)=I0ωCsin(ωtπ2)kondensaattorille,VL(t)=ωLI0sin(ωt+π2)käämille.

Jokaisessa tapauksessa sinifunktio toimii lausekkeelle ωt+φ, missä lukua φ kutsutaan jännitteen vaihekulmaksi. Pelkän vastuksen aiheuttaman vaihtojännitteen sanotaan olevan samassa vaiheessa kuin virta, sillä niiden vaihekulmat ovat samat. Kondensaattori myöhäistää jännitteen värähtelyä verrattuna virtaan, ja tällöin vaihe-ero on π2. Vastaavasti käämi aikaistaa jännitettä suhteessa virtaan, eli vaihe-ero on π2. Seuraavat kuvaajat havainnollistavat kutakin jännitettä suhteessa harmaalla piirrettyyn vaihtovirtaan.

../_images/kompleksisahkoesim.svg

Eulerin kaavan mukaan sin(ωt) on myös kompleksiluvun eiωt imaginaariosa:

Im(eiωt)=Im(cos(ωt)+isin(ωt))=sin(ωt).

Eri komponenttien aiheuttamat jännitteetkin voidaan siis muotoilla samoin. Koska on voimassa eiπ2=i ja eiπ2=i, niin

VR(t)=RI0Im(eiωt)=Im(RI0eiωt)VC(t)=I0ωCIm(ei(ωtπ/2))=Im(I0ωCeiωteiπ/2)=Im((iωC)I0eiωt)VL(t)=ωLI0Im(ei(ωt+π/2))=Im(ωLI0eiωteiπ/2)=Im((iωL)I0eiωt)

Määritellään resistiivinen, kapasitatiivinen ja induktiivinen impedanssi

ZR=R,ZC=iωCjaZL=iωL,

sekä kompleksinen impedanssi

Z=ZR+ZC+ZL=R+(ωL1ωC)i.

Tällöin kussakin edellisistä tapauksista jännite voidaan esitettää muodossa

VX(t)=Im(ZXI0eiωt),

missä X viittaa tunnukseen R, C tai L, ja kaikki komponentit sisältävässä RLC-piirissä kokonaisjännite on

V(t)=VR(t)+VC(t)+VL(t)=Im(ZIeiωt).

Koska piirin vastus R=ReZ>0, kompleksiluku Z sijaitsee imaginaariakselin oikealle puolelle jäävässä puolitasossa. Tällöin luvulla Z on napakoordinaattiesitys Z=|Z|eiφ, missä

φ=argZ=arctan(ωL1ωCR)=arctan(ω2LC1ωRC).

Niinpä RLC-piirin kokonaisjännite on

V(t)=Im(|Z|eiφI0eiωt)=|Z|I0Im(ei(ωt+φ))=|Z|I0sin(ωt+φ).

Jännitteen vaihekulma φ on siis piirin kompleksisen impedanssin argumentti. Lisäksi skaalauskertoimena toimivaa itseisarvoa

|Z|=R2+(ωL1ωC)2

kutsutaan LCR-piirin impedanssiksi.

Palautusta lähetetään...