Loading [MathJax]/jax/output/CommonHTML/jax.js
Tämä kurssi on jo päättynyt.

Rationaalifunktion integrointi

Rationaalifunktio on muotoa

p(x)q(x),

missä p ja q ovat reaalikertoimisia polynomifunktioita. Jokainen rationaalifunktio voidaan integroida alkeisfunktioita käyttäen. Tarkastellaan seuraavassa integrointimenetelmän vaiheita.

Jos polynomin p aste on suurempi tai yhtä suuri kuin polynomin q aste, niin jakolaskulla saadaan

p(x)q(x)=r(x)+s(x)q(x),

missä r ja s ovat polynomeja ja polynomin s aste on pienempi kuin polynomin q aste.

Esimerkki 5.4.1

Laske x3+x2x+1dx.

Ratkaisu

Integroitavan rationaalifunktion osoittajan polynomin aste on korkempi kuin nimittäjän, joten se voidaan jakaa jakokulmassa:

../_images/rationaali-jakokulma.svg

Jakokulmasta nähdään, että jako ei mene tasan ja siis

x3+x2x+1=x2x+24x+1.

Näin ollen

x3+x2x+1dx=x33x22+2x4ln|x+1|+C.

Kuten edellisestä esimerkistäkin nähtiin, polynomi r osataan helposti integroida, joten riittää osata integroida p(x)/q(x) tapauksessa, jossa polynomin p aste on pienempi kuin polynomin q aste. Oletetaan seuraavassa, että näin on (tee ensin tarvittaessa jakolasku). Polynomi q voidaan jakaa mahdollisimman alhaista astetta oleviin 1. ja 2. asteen reaalikertoimisiin tekijöihin. Nyt

q(x)=a(xa1)m1(xaj)mj(x2+b1x+c1)n1(x2+bkx+ck)nk,

missä aR, polynomin q reaaliset erilliset nollakohdat ovat a1,,aj, mi on nollakohdan ai kertaluku ja polynomeilla x2+bix+ci ei ole reaalisia nollakohtia. Tällöin rationaalifunktiolle p(x)/q(x) voidaan muodostaa osamurtokehitelmä (partial fraction)

p(x)q(x)=F1(x)+F2(x)++Fn(x),

missä rationaalifunktiot F (niin sanotut osamurtoluvut) muodostuvat seuraavasti. Jokaista polynomin q muotoa (axb)m olevaa tekijää vastaa osamurtoluvut

A1(axb)+A2(axb)2++Am(axb)m

ja jokaista polynomin q muotoa (ax2+bx+c)n olevaa tekijää vastaa osamurtoluvut

B1x+C1ax2+bx+c+B2x+C2(ax2+bx+c)2++Bnx+Cn(ax2+bx+c)n.

Nämä osamurtoluvut ovat sellaista muotoa, jotka osataan integroida ja siten

p(x)q(x)dx

saadaan laskettua osamurtolukujen integraalien summana.

Valitse yksi oikea väittämä.

Esimerkki 5.4.2

Laske 4x9x28x+15dx.

Ratkaisu

Nimittäjäpolynomilla x28x+15 on kaksi nollakohtaa x=3 ja x=5, joten x28x+15=(x3)(x5). Niinpä

4x9x28x+15=Ax3+Bx5

joillakin vakioilla A ja B. Niiden selvittämiseksi lavennetaan oikean puolen termit samannimisiksi, jolloin

4x9x28x+15=A(x5)+B(x3)x28x+15,

eli on oltava

{4=A+B,9=5A3B,

josta A=32 ja B=112. Siis

4x9x28x+15dx=32dxx3+112dxx5=32ln|x3|+112ln|x5|+C.

Esimerkki 5.4.3

Laske 1x(x1)2dx.

Ratkaisu

Nimittäjäpolynomi on suoraan tekijämuodossa, joten voidaan muodostaa osamurtokehitelmä

1x(x1)2=Ax+Bx1+C(x1)2=A(x22x+1)+B(x2x)+Cxx(x1)2,

josta vastinpotenssien kertoimia tutkimalla saadaan A=1, B=1 ja C=1. Niinpä

1x(x1)2dx=1xdx1x1dx+1(x1)2dx=ln|x|ln|x1|1x1+C=ln|xx1|1x1+C.

Esimerkki 5.4.4

Laske 1x(x2+1)2dx.

Ratkaisu

Toisen asteen tekijällä x2+1 ei ole reaalisia nollakohtia, joten nimittäjäpolynomi on suoraan tekijämuodossa ja voidaan muodostaa osamurtokehitelmä

1x(x2+1)2=Ax+Bx+Cx2+1+Dx+E(x2+1)2.

Laventamalla saadaan A=1, B=1, C=0, D=1 ja E=0, joten

1x(x2+1)2dx=1xdxxx2+1dxx(x2+1)2dx=ln|x|12ln(x2+1)+121x2+1+C=ln|x|x2+1+12(x2+1)+C.

Muotoa

Bx+Cx2+bx+cdx

oleva osamurtoluvun integraali palautuu helpommin käsiteltävään muotoon täydentämällä jakaja neliöksi ja tekemällä sopiva sijoitus.

Esimerkki 5.4.5

Laske 6x11x28x+25dx.

Ratkaisu

Nimittäjällä ei ole nollakohtia, joten integroitava funktio on valmiiksi osamurtomuodossa. Neliöimällä nimittäjä saadaan

x28x+25=x28x+16+9=(x4)2+9.

Sijoitetaan u=x4, jolloin (x4)2+9=u2+9, x=u+4 ja dx=du. Siis

6x11x28x+25dx=6uu2+9du+13duu2+9=3ln(u2+9)+133arctanu3+C=3ln(x28x+25)+133arctanx43+C.
Palautusta lähetetään...