- MATH.APP.120
- 5. Integraalifunktio ja määrätty integraali
- 5.4 Rationaalifunktion integrointi
Rationaalifunktion integrointi¶
Rationaalifunktio on muotoa
missä p ja q ovat reaalikertoimisia polynomifunktioita. Jokainen rationaalifunktio voidaan integroida alkeisfunktioita käyttäen. Tarkastellaan seuraavassa integrointimenetelmän vaiheita.
Jos polynomin p aste on suurempi tai yhtä suuri kuin polynomin q aste, niin jakolaskulla saadaan
missä r ja s ovat polynomeja ja polynomin s aste on pienempi kuin polynomin q aste.
Esimerkki 5.4.1
Laske ∫x3+x−2x+1dx.
Integroitavan rationaalifunktion osoittajan polynomin aste on korkempi kuin nimittäjän, joten se voidaan jakaa jakokulmassa:
Jakokulmasta nähdään, että jako ei mene tasan ja siis
Näin ollen
Kuten edellisestä esimerkistäkin nähtiin, polynomi r osataan helposti integroida, joten riittää osata integroida p(x)/q(x) tapauksessa, jossa polynomin p aste on pienempi kuin polynomin q aste. Oletetaan seuraavassa, että näin on (tee ensin tarvittaessa jakolasku). Polynomi q voidaan jakaa mahdollisimman alhaista astetta oleviin 1. ja 2. asteen reaalikertoimisiin tekijöihin. Nyt
missä a∈R, polynomin q reaaliset erilliset nollakohdat ovat a1,…,aj, mi on nollakohdan ai kertaluku ja polynomeilla x2+bix+ci ei ole reaalisia nollakohtia. Tällöin rationaalifunktiolle p(x)/q(x) voidaan muodostaa osamurtokehitelmä (partial fraction)
missä rationaalifunktiot Fℓ (niin sanotut osamurtoluvut) muodostuvat seuraavasti. Jokaista polynomin q muotoa (ax−b)m olevaa tekijää vastaa osamurtoluvut
ja jokaista polynomin q muotoa (ax2+bx+c)n olevaa tekijää vastaa osamurtoluvut
Nämä osamurtoluvut ovat sellaista muotoa, jotka osataan integroida ja siten
saadaan laskettua osamurtolukujen integraalien summana.
Esimerkki 5.4.2
Laske ∫4x−9x2−8x+15dx.
Nimittäjäpolynomilla x2−8x+15 on kaksi nollakohtaa x=3 ja x=5, joten x2−8x+15=(x−3)(x−5). Niinpä
joillakin vakioilla A ja B. Niiden selvittämiseksi lavennetaan oikean puolen termit samannimisiksi, jolloin
eli on oltava
josta A=−32 ja B=112. Siis
Esimerkki 5.4.3
Laske ∫1x(x−1)2dx.
Nimittäjäpolynomi on suoraan tekijämuodossa, joten voidaan muodostaa osamurtokehitelmä
josta vastinpotenssien kertoimia tutkimalla saadaan A=1, B=−1 ja C=1. Niinpä
Esimerkki 5.4.4
Laske ∫1x(x2+1)2dx.
Toisen asteen tekijällä x2+1 ei ole reaalisia nollakohtia, joten nimittäjäpolynomi on suoraan tekijämuodossa ja voidaan muodostaa osamurtokehitelmä
Laventamalla saadaan A=1, B=−1, C=0, D=−1 ja E=0, joten
Muotoa
oleva osamurtoluvun integraali palautuu helpommin käsiteltävään muotoon täydentämällä jakaja neliöksi ja tekemällä sopiva sijoitus.
Esimerkki 5.4.5
Laske ∫6x−11x2−8x+25dx.
Nimittäjällä ei ole nollakohtia, joten integroitava funktio on valmiiksi osamurtomuodossa. Neliöimällä nimittäjä saadaan
Sijoitetaan u=x−4, jolloin (x−4)2+9=u2+9, x=u+4 ja dx=du. Siis