\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Integraalifunktio¶

Olkoon seuraavassa \(I\subset\R\) (rajoitettu tai rajoittamaton) reaalilukuväli.

Määritelmä 5.2.1

Funktio \(F : I\to\R\) on funktion \(f : I\to\R\) integraalifunktio eli antiderivaatta (antiderivative) välillä \(I\), jos \(F'(x)=f(x)\) kaikilla välin \(I\) pisteillä \(x\).

Esimerkki 5.2.2

Olkoon \(f(x)=2x+1\). Silloin esimerkiksi \(F(x)=x^2+x-4\) ja \(G(x)=x^2+x+8\) ovat funktion \(f\) integraalifunktioita, koska \(F'(x)=f(x)\) ja \(G'(x)=f(x)\).

Esimerkki näyttää, että integraalifunktio ei ole yksikäsitteinen. Eri integraalifunktiot eroavat toisistaan kuitenkin vain vakion osalta.

Lause 5.2.3

Olkoon \(F\) jokin funktion \(f\) integraalifunktio välillä \(I\). Tällöin jokainen funktion \(f\) integraalifunktio voidaan esittää muodossa \(G(x)=F(x)+C\), missä \(C\in\R\). Vakiota \(C\) kutsutaan integroimisvakioksi.

Todistus

Olkoot \(F\) ja \(G\) funktion \(f\) integraalifunktioita välillä \(I\). Merkitään \(H(x)=G(x)-F(x)\). Silloin

\[H'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0.\]

Differentiaalilaskennan väliarvolauseen avulla voidaan tällöin osoittaa, että \(H\) on vakiofunktio, eli \(H(x)=G(x)-F(x)=C\) jollain reaalivakiolla \(C\).

Määritelmä 5.2.4

Funktion \(f : I\to\R\) integroimisella tarkoitetaan kaikkien funktion \(f\) integraalifunktioiden määrittämistä välillä \(I\). Funktion \(f\) integraalifunktiolle \(F\) käytetään merkintää

\[F(x)=\int f(x)\,\d x.\]

Merkinnän katsotaan sisältävän kaikki funktion \(f\) integraalifunktiot, joten integroimisvakiota ei tässä merkinnässä yleensä kirjoiteta näkyviin.

Esimerkki 5.2.5

Integroinnin tulokset voi tarkastaa derivoimalla. Esimerkiksi on helppo nähdä, että

\[\begin{split}\begin{aligned} \int13x^3\,\d x&=\frac{13}{4}x^4+C,\\ \int\sin(3x)\,\d x&=-\frac13\cos(3x)+C,\\ \int e^{-9x}\,\d x&=-\frac19e^{-9x}+C. \end{aligned}\end{split}\]

Integraalifunktion määritelmästä ja sen vakiota vaille yksikäsitteisyydestä seuraa suoraan, että integrointi ja derivointi ovat käänteisiä operaatioita. Toisin sanoen, mikäli funktiolla \(f\) on integraalifunktio välillä \(I\), niin

\[D\int f(x)\,\d x=f(x)\]

ja mikäli \(f\) on derivoituva välillä \(I\), niin

\[\int f'(x)\,\d x=f(x)+C.\]

Integraalifunktioista puhuttaessa on oleellista, että tarkastelujoukkona \(I\) on väli, kuten seuraava esimerkki osoittaa.

Esimerkki 5.2.6

Funktioille \(F(x)=1\) ja

\[\begin{split}G(x)=\begin{cases} 0,&\text{kun }x<0\\ 1,&\text{kun }x>0 \end{cases}\end{split}\]

on \(F'(x)=G'(x)=0\) kaikilla \(x\ne0\), mutta silti \(F(x)\ne G(x)+C\).

Seuraavassa lauseessa todetaan, että integrointi on lineaarinen operaatio, eli se toteuttaa samat vakion siirron ja summan laskusäännöt kuin derivaattakin.

Lause 5.2.7

Olkoot \(f,g : I \to \R\) funktioita ja \(c\) reaaliluku. Tällöin

\[\begin{split}\begin{aligned} \int cf(x)\,\d x&=c\int f(x)\,\d x,\\ \int(f(x)+g(x))\,\d x&=\int f(x)\,\d x+\int g(x)\,\d x. \end{aligned}\end{split}\]

Todistus

Väitteet seuraavat suoraan derivoinnin lineaarisuudesta. Jos \(F(x)\) on funktion \(f(x)\) jokin integraalifunktio, niin \(cf(x)=c(DF(x))=D(cF(x))\), joten funktiolla \(cf(x)\) on integraalifunktio \(cF(x)\). Toinen väite vastaavasti.

Esimerkki 5.2.8

Lineaarisuutta käyttäen

\[\begin{split}\begin{aligned} \int 2x(\sqrt{x}-1)\,\d x&=\int\big(2x^{3/2}-2x\big)\,\d x =2\int x^{3/2}\,\d x-\int2x\,\d x\\ &=2\cdot\frac25x^{5/2}-x^2+C =\frac45 x^2\sqrt{x}-x^2+C. \end{aligned}\end{split}\]

Kaikilla funktioilla ei ole integraalifunktiota.

Esimerkki 5.2.9

Olkoon funktio \(f : \R\to\R\) määritelty asettamalla

\[\begin{split}f(x)=\begin{cases} 0, &\text{kun}\ x<0\\ 1, &\text{kun}\ x\ge0. \end{cases}\end{split}\]

Oletetaan, että sillä on integraalifunktio \(F : \R\to\R\). Silloin

\[\begin{split}F(x)=\begin{cases} C, &\text{kun}\ x<0\\ x+D, &\text{kun}\ x>0. \end{cases}\end{split}\]

Koska \(F\) on derivoituva pisteessä \(x=0\), niin \(F\) on jatkuva pisteessä \(x=0\) ja siis \(C=D\). Nyt funktion \(F\) kuvaajalla on kulma pisteessä \(x=0\), eikä \(F\) täten ole derivoituva, kun \(x=0\). Tämä ristiriita osoittaa, että funktiolla \(f\) ei voi olla integraalifunktiota.

Integraalifunktion olemassaoloa pohditaan tarkemmin myöhemmin. Hyvä uutinen on, että jokaisella jatkuvalla funktiolla (ja monilla muillakin funktioilla) on integraalifunktio. Huono uutinen on, että monesti yksinkertaisenkaan näköisen jatkuvan funktion \(f\) integraalifunktiota \(F\) ei voida esittää äärellisen monen alkeisfunktion avulla. Tällaisia funktioita ovat esimerkiksi

\[\frac{\sin x}{x},\qquad\frac{1}{\ln x},\qquad\frac{e^x}{x}\qquad \text{ja}\qquad e^{x^2}.\]

Seuraavassa, integrointitekniikkaan omistautuneessa luvussa käydään läpi joitakin tapoja laskea integraalifunktio silloin, kun sille on lauseke olemassa.