$$\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}$$

Raja-arvokäsitteen laajennukset

Tähän asti määritellyt raja-arvokäsitteet kattavat vain funktioiden äärelliset arvot äärellisissä reaalilukupisteissä. Tämä ei kuitenkaan riitä kuvaamaan kaikkia aloitusesimerkin tapauksia. Reaalilukujen joukossa ei ole pienintä eikä suurinta lukua, sillä jokaista lukua $x \in \R$ kohti on olemassa $x < x + 1$ ja $x > x - 1$. Tarvitsemme näille mielivaltaisen suurille luvuille uudet käsitteet.

Jos jokin luku on mielivaltaisen suuri, siis niin suuri, että emme pysty enää ilmaisemaan sitä yhdenkään reaaliluvun avulla, kutsumme tällaista lukua äärettömäksi ja merkitsemme $\infty$. Vastaavasti mielivaltaisen pientä, mitä tahansa reaalilukua pienempää lukua kutsutaan miinus äärettömäksi ja merkitään $-\infty$. On syytä korostaa, että äärettömät eivät ole reaalilukuja, eivätkä siksi reaalilukujen laskusäännöt kaikilta osin päde niiden kanssa. Emme esimerkiksi voi olla millään lailla varmoja siitä, että kaksi $\infty$-merkillä esitettyä lukua olisivat yhtäsuuret, koska kyse on mielivaltaisen suurista luvuista. Siksi vähennyslaskun $\infty - \infty$ tulos ei ole nolla tai mikään muukaan reaaliluku, vaan tätä vähennyslaskua sanotaan epämääräiseksi muodoksi. Tässä luvussa esitellään raja-arvojen lisäksi äärettömään liittyviä laskusääntöjä sekä äärettömään liittyviä epämääräisiä muotoja.

Epäoleelliset raja-arvot

Jos funktion $f$ arvot kasvavat rajatta pistettä $a$ lähestyttäessä, on intuitiivista sanoa, että funktiolla $f$ on raja-arvo $\infty$ pisteessä $a$. Vastaavasti rajatta vähenevässä tapauksessa funktiolla on raja-arvo $-\infty$ tarkastelupisteessä. Annamme seuraavaksi epämuodollisen määritelmän raja-arvolle.

Määritelmä 3.3.1

Jos funktio $f$ on määritelty pisteen $a$ punkteeratussa ympäristössä ja jos funktion $f$ arvot $f\left( x \right)$ kasvavat rajatta kun lähestymme lukua $a$, niin funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa $a$. Sen sijaan sillä on olemassa epäoleellinen raja-arvo $\infty$ kohdassa $a$. Tällöin merkitään

$$\lim_{x\to a}f(x)=\infty\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to\infty,\text{ kun }x\to a.$$

Vastaavasti, jos funktio $f$ on määritelty pisteen $a$ punkteeratussa ympäristössä ja jos funktion $f$ arvot $f\left( x \right)$ vähenevät rajatta kun lähestymme lukua $a$, niin funktiolla ei ole raja-arvoa kohdassa $a$. Sen sijaan sillä on olemassa epäoleellinen raja-arvo $-\infty$ kohdassa $a$. Tällöin merkitään

$$\lim_{x\to a}f(x)=-\infty\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to-\infty,\text{ kun }x\to a.$$

Huomaa, että epäoleellisen raja-arvon määritelmässä funktion arvojen täytyy kasvaa tai vähentyä molemmilla puolilla raja-arvopistettä. Epäoleelliset toispuoleiset raja-arvot $\infty$ ja $-\infty$ määritellään vastaavasti kuin äärelliset toispuoleiset raja-arvot. Aikaisemmin esiteltyjä raja-arvojen laskusääntöjä ja toispuoleisten raja-arvojen kriteeriä voidaan käyttää myös epäoleellisille raja-arvoille seuraavia äärettömän laskusääntöjä soveltaen. Tässä $c \in \R$.

1. $c+\infty=\infty+c=\infty$ ja $c-\infty=-\infty+c=-\infty$
2. $c\cdot\infty=\infty\cdot c=\infty$ ja $c \cdot \left( -\infty \right)= \left( -\infty \right) \cdot c = -\infty$, jos $c>0$
3. $c\cdot\infty=\infty\cdot c=-\infty$ ja $c\cdot \left( -\infty \right) = \left( -\infty \right) \cdot c =\infty$, jos $c<0$
4. $\dfrac{c}{\pm\infty}=0$
5. $\infty+\infty=\infty$ ja $-\infty-\infty=-\infty$
6. $\infty\cdot\infty=\infty$, $(-\infty)\cdot(-\infty)=\infty$, $\infty\cdot(-\infty)=\left( -\infty \right) \cdot \infty=-\infty$

Esimerkki 3.3.2

1. Funktiolla $f(x)=\dfrac{\sqrt{x}}{x-3}$ on epäoleelliset toispuoleiset raja-arvot

   $$\lim_{x\to3-}f(x)=-\infty\qquad\text{ja}\qquad\lim_{x\to3+}f(x)=\infty,$$

   sillä $\sqrt{x}\to\sqrt{3}$, kun $x\to3$ ja $x-3\to0\pm$, kun $x\to3\pm$. Niinpä epäoleellista raja-arvoa $\lim\limits_{x\to3}f(x)$ ei ole olemassa.

2. $\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^8}{(x-2)^2}=\lim_{x\to2}\big(x^8\big)\lim_{x\to2}\frac{1}{(x-2)^2}=2^8\cdot\infty=\infty$.

Seuraavat muodot ovat epämääräisiä eikä niistä raja-arvolaskuissa voida tehdä mitään johtopäätöksiä.

$$\infty-\infty,\quad 0\cdot\infty,\quad \frac{\pm\infty}{\pm\infty},\quad \frac00,\quad 0^0,\quad \infty^0,\quad 1^\infty$$

Voidaan osoittaa, että jokaisen merkinnän arvo olisi monikäsitteinen. Esimerkiksi

$$1=\lim_{x\to0+}1=\lim_{x\to0+}x\cdot\frac1x=0\cdot\infty,$$

mutta toisaalta

$$2=\lim_{x\to0+}2=\lim_{x\to0+}(2x)\cdot\frac{1}{x}=0\cdot\infty,$$

tai jopa

$$\infty=\lim_{x\to0+}\frac1x=\lim_{x\to0+}x\cdot\frac{1}{x^2}=0\cdot\infty.$$

Epämääräisten muotojen esiintyminen raja-arvolaskussa ei tarkoita sitä, että laskeminen lopetetaan siihen. Sen sijaan on tarkoitus käyttää jotain laskennallista menetelmää (esimerkiksi lavennus tai yhteisen tekijän ottaminen ja supistus), jolla muodosta pääsee eroon.

Pohditaan hieman, miksi jotkut epämääräisiksi mainitut muodot ovat ovat epämääräisiä.

Question 1

Jos $a$ on positiivinen reaaliluku, niin mitä on $0^a$?

$0$

$1$

$a$

$\infty$

Ei voi määritellä.

Question 2

Jos $a$ on mikä tahansa muu reaaliluku kuin $0$, niin mitä on $a^0$?

$0$

$1$

$a$

$\infty$

Ei voi määritellä.

Question 3

Mikä yksikäsitteinen arvo voidaan siis määritellä muodolle $0^0$?

$0$

$1$

$a$

$\infty$

Ei voi määritellä.

Question 4

Jos $a$ on mikä tahansa äärellinen luku, niin mitä on $1^a$?

$0$

$1$

$a$

$\infty$

Ei voi määritellä.

Question 5

Jos $1<a<\infty$, niin mitä on $a^{\infty}$?

$0$

$1$

$a$

$\infty$

Ei voi määritellä.

Question 6

Jos $0<a<1$, niin mitä on $a^{\infty}$?

$0$

$1$

$a$

$\infty$

Ei voi määritellä.

Question 7

Mikä yksikäsitteinen arvo voidaan siis määritellä muodolle $1^{\infty}$?

$0$

$1$

$a$

$\infty$

Ei voi määritellä.

Raja-arvo äärettömyydessä

Jos funktion $f$ arvot $f(x)$ lähestyvät reaalilukua $L$, kun $x$ kasvaa rajatta, on intuitiivista sanoa, että funktiolla $f$ on raja-arvo $L$ äärettömyydessä.

Määritelmä 3.3.3

Olkoon reaalifunktio $f$ määritelty joukossa $(c,\infty)$. Jos funktion $f$ arvot $f\left( x \right)$ lähestyvät reaalilukua $L$, kun muuttuja $x$ kasvaa rajatta, niin funktion funktion raja-arvo äärettömyydessä on $L$. Tällöin merkitään

$$\lim_{x\to\infty}f(x)=L\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to\infty.$$

Vastaavasti, jos funktion on määritelty joukossa $\left( -\infty, c \right)$ ja funktion $f$ arvot $f\left( x \right)$ lähestyvät reaalilukua $L$, kun muuttuja $x$ kasvaa rajatta, niin funktion raja-arvo miinus äärettömyydessä on $L$. Tällöin merkitään

$$\lim_{x\to-\infty}f(x)=L\qquad\text{tai}\qquad f(x)\to L,\text{ kun }x\to-\infty.$$

Vastaavasti voidaan määritellä myös epäoleelliset raja-arvot $\infty$ ja $-\infty$ äärettömyydessä ja miinus-äärettömyydessä.

Esimerkki 3.3.4

1. $\lim\limits_{x\to\infty}\dfrac{1}{x}=0$.
2. $\lim\limits_{x\to-\infty}x^3=-\infty$.
3. Ei ole olemassa raja-arvoa $\lim\limits_{x\to\infty}\sin x$.
4. $\lim\limits_{x\to\infty}\arctan x=\dfrac{\pi}{2}$.

Esimerkki 3.3.5

Polynomi-, rationaali- ja juurifunktioiden raja-arvoja äärettömyydessä voidaan yrittää tutkia ottamalla yhteinen tekijä tai laventamalla sopivasti.

1. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\big(3x^3-100x^2+11\big)=\lim_{x\to\infty}\Big(3-\frac{100}{x}+\frac{11}{x^3}\Big)x^3=(3-0+0)\cdot\infty=\infty$.
2. $\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{2x^3+4x^2-7}{5x^3-x+1}=\lim_{x\to-\infty}\frac{2+\dfrac{4}{x}-\dfrac{7}{x^3}}{5-\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{x^3}}=\frac{2+0-0}{5-0+0}=\frac25$.
3. $\displaystyle\frac{-x^3+2x^2+9}{7x^2+2x-1}=\frac{-x+2+\dfrac{9}{x^2}}{7+\dfrac{2}{x}-\dfrac{1}{x^2}}\to\frac{-\infty+2+0}{7+0-0}=\frac{-\infty}{7}=-\infty$, kun $x\to\infty$.
4. $\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\ \mathop{=}^{x>0}\ \lim_{x\to\infty}\frac{x}{x\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1+0}}=1$.
5. $\displaystyle\sqrt{x+1}-\sqrt{x}=\big(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\big)\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\displaystyle=\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\to\frac{1}{\infty}=0$, kun $x\to\infty$.

Pohditaan hieman tarkemmin muutamia yllä olleista esimerkeistä.

Question 1

Yksikäsitteistä raja-arvoa $\lim\limits_{x\to\infty} \sin{x}$ ei ole olemassa, koska

sinifunktio saa äärettömyydessä vuorotellen arvoja $-1$ ja $1$,

sinifunktion arvot eivät voi lähestyä ääretöntä,

$x$ ei voi lähestyä ääretöntä sinifunktion yhteydessä,

sinifunktio saa kaikkialla arvoja väliltä $[-1, 1]$.

Question 2

Arkustangentin raja-arvo $\lim\limits_{x\to\infty}\arctan{x} = \frac{\pi}{2}$, koska (vihje: tangenttifunktion kuvaaja)

$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}+} \tan{x} = \infty$,

$\lim\limits_{x\to-\frac{\pi}{2}+} \tan{x} = \infty$,

$\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}-} \tan{x} = \infty$,

$\lim\limits_{x\to-\frac{\pi}{2}-} \tan{x} = \infty$.

Question 3

Mikä seuraavista on oikein päätelty? Raja-arvo $\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$\stackrel{x<0}{=}\lim\limits_{x\to -\infty} \frac{x}{x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$,

$\stackrel{x<0}{=}\lim\limits_{x\to -\infty} \frac{x}{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}$,

$\stackrel{x<0}{=}\lim\limits_{x\to -\infty} \frac{x}{x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}$,

$\stackrel{x<0}{=}\lim\limits_{x\to -\infty} \frac{x}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}}$.

Question 4

Mitä on $\lim\limits_{x\to -\infty} \dfrac{x}{\sqrt{x^2+1}}$?

$1$

$-1$

$0$

Ei määritelty.

Palautusta lähetetään...