\[\newcommand{\N}{\mathbb N} \newcommand{\Z}{\mathbb Z} \newcommand{\Q}{\mathbb Q} \newcommand{\R}{\mathbb R} \newcommand{\C}{\mathbb C} \newcommand{\ba}{\mathbf{a}} \newcommand{\bb}{\mathbf{b}} \newcommand{\bc}{\mathbf{c}} \newcommand{\bd}{\mathbf{d}} \newcommand{\be}{\mathbf{e}} \newcommand{\bff}{\mathbf{f}} \newcommand{\bh}{\mathbf{h}} \newcommand{\bi}{\mathbf{i}} \newcommand{\bj}{\mathbf{j}} \newcommand{\bk}{\mathbf{k}} \newcommand{\bN}{\mathbf{N}} \newcommand{\bn}{\mathbf{n}} \newcommand{\bo}{\mathbf{0}} \newcommand{\bp}{\mathbf{p}} \newcommand{\bq}{\mathbf{q}} \newcommand{\br}{\mathbf{r}} \newcommand{\bs}{\mathbf{s}} \newcommand{\bT}{\mathbf{T}} \newcommand{\bu}{\mathbf{u}} \newcommand{\bv}{\mathbf{v}} \newcommand{\bw}{\mathbf{w}} \newcommand{\bx}{\mathbf{x}} \newcommand{\by}{\mathbf{y}} \newcommand{\bz}{\mathbf{z}} \newcommand{\bzero}{\mathbf{0}} \newcommand{\nv}{\mathbf{0}} \newcommand{\cA}{\mathcal{A}} \newcommand{\cB}{\mathcal{B}} \newcommand{\cC}{\mathcal{C}} \newcommand{\cD}{\mathcal{D}} \newcommand{\cE}{\mathcal{E}} \newcommand{\cF}{\mathcal{F}} \newcommand{\cG}{\mathcal{G}} \newcommand{\cH}{\mathcal{H}} \newcommand{\cI}{\mathcal{I}} \newcommand{\cJ}{\mathcal{J}} \newcommand{\cK}{\mathcal{K}} \newcommand{\cL}{\mathcal{L}} \newcommand{\cM}{\mathcal{M}} \newcommand{\cN}{\mathcal{N}} \newcommand{\cO}{\mathcal{O}} \newcommand{\cP}{\mathcal{P}} \newcommand{\cQ}{\mathcal{Q}} \newcommand{\cR}{\mathcal{R}} \newcommand{\cS}{\mathcal{S}} \newcommand{\cT}{\mathcal{T}} \newcommand{\cU}{\mathcal{U}} \newcommand{\cV}{\mathcal{V}} \newcommand{\cW}{\mathcal{W}} \newcommand{\cX}{\mathcal{X}} \newcommand{\cY}{\mathcal{Y}} \newcommand{\cZ}{\mathcal{Z}} \newcommand{\pv}{\overline} \newcommand{\iu}{\mathrm{i}} \newcommand{\ju}{\mathrm{j}} \newcommand{\re}{\operatorname{Re}} \newcommand{\im}{\operatorname{Im}} \newcommand{\arsinh}{\operatorname{ar\,sinh}} \newcommand{\arcosh}{\operatorname{ar\,cosh}} \newcommand{\artanh}{\operatorname{ar\,tanh}} \newcommand{\sgn}{\operatorname{sgn}} \newcommand{\diag}{\operatorname{diag}} \newcommand{\proj}{\operatorname{proj}} \newcommand{\rref}{\operatorname{rref}} \newcommand{\rank}{\operatorname{rank}} \newcommand{\Span}{\operatorname{span}} \newcommand{\vir}{\operatorname{span}} \renewcommand{\dim}{\operatorname{dim}} \newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} \newcommand{\geom}{\operatorname{geom}} \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\norm}[1]{\lVert #1 \rVert} \newcommand{\tp}[1]{#1^{\top}} \renewcommand{\d}{\mathrm{d}} \newcommand{\sij}[2]{\bigg/_{\mspace{-15mu}#1}^{\,#2}} \newcommand{\abs}[1]{\lvert#1\rvert} \newcommand{\pysty}[1]{\left[\begin{array}{@{}r@{}}#1\end{array}\right]} \newcommand{\piste}{\cdot} \newcommand{\qedhere}{} \newcommand{\taumatrix}[1]{\left[\!\!#1\!\!\right]} \newenvironment{augmatrix}[1]{\left[\begin{array}{#1}}{\end{array}\right]} \newenvironment{vaugmatrix}[1]{\left|\begin{array}{#1}}{\end{array}\right|}\]

Ensimmäisen asteen polynomifunktio

Määritelmä 1.3.1

Ensimäisen asteen polynomifunktio on muotoa \(f\left( x \right) = k \cdot x + b\), missä \(k\) ja \(b\) ovat vakioita.

Tälle riippuvuudelle on ominaista seuraavat ominaisuudet.

• Kuvaajana on suora.
• Kerroin \(k\) on suoran kulmakerroin eli mitä suurempi on \(\abs{k}\), niin sitä jyrkempi suora. Lisäksi
  • jos \(k > 0\), niin kyseessä on nouseva suora,
  • jos \(k < 0\), niin kyseessä on laskeva suora,
  • jos \(k = 0\), niin kyseessä on \(x\)-akselin suuntainen suora.
• Vakio \(b\) ilmoittaa \(y\)-akselin leikkauskohdan.
• Suorat \(l_1\) ja \(l_2\) ovat yhdensuuntaiset jos ja vain jos kulmakertoimet ovat samat, merkitään \(l_1 \parallel l_2\).
• Suorat \(l_1\) ja \(l_2\) ovat kohtisuorassa jos ja vain jos kulmakertoimien tulo on \(-1\), merkitään \(l_1 \perp l_2\).

Huomautus 1.3.2

Huomaa, että \(y\)-akselin suuntaisen suoran yhtälö on muotoa \(x = a\) eli pystysuora, joka leikaa \(x\)-akselin kohdassa \(a\).

Kahden suureen välistä riippuvuutta sanotaan lineaariseksi, jos riippuvuutta kuvaa suora.

Suoran suuntakulma

Suoran suuntakulma on suoran ja positiivisen \(x\)-akselin välinen kulma. Niinpä suuntakulma on kulmakertoimen lisäksi toinen tapa kuvata suoran jyrkkyyttä. Suora on nouseva, kun \(0 < \alpha < \frac{\pi}{2}\) eli \(\ang{0} < \alpha < \ang{90}\), ja laskeva, kun \(-\frac{\pi}{2} < \alpha < 0\) eli \(\ang{-90} < \alpha < \ang{0}\).

Suoran suuntakulman \(\alpha\) ja kulmakertoimen \(k\) välinen yhteys on

\[\tan\alpha = k.\]

Erityisesti

• \(x\)-akselin suuntaisen suoran suuntakulma on \(0\) eli \(\ang{0}\),
• \(y\)-akselin suuntaisen suoran suuntakulma on \(\frac{\pi}{2}\) eli \(\ang{90}\),
• yhdensuuntaisten suorien suuntakulmat ovat yhtä suuret.

Suoran yhtälö

• Normaalimuodossa \(ax + by + c = 0\).
• Ratkaistussa muodossa \(y = kx + b\).

Esimerkki 1.3.3

Määritetään suoran \(4x + 2y -10 = 0\) kulmakerroin ja suuntakulma esittämällä yhtälö ratkaistussa muodossa seuraavasti.

\[4x + 2y -10 = 0 \quad \Leftrightarrow \quad 2y = -4x + 10 \quad \Leftrightarrow \quad y = -2x + 5,\]

eli kulmakerroin on \(-2\). Suuntakulma \(\theta\) saadaan yhtälöstä

\[\tan \theta = -2 \quad \Leftrightarrow \quad \theta = \arctan\left( -2 \right) \approx \num{-1.11} \approx \ang{-63.4}.\]

Suoran piirtämiseen tarvitaan kaksi suoran pistettä. Suositeltavaa on kuitenkin laskea kolmas piste tarkistukseksi.

Esimerkki 1.3.4

Piirretään suora \(y = \num{-0.35}x + \num{5.0}\). Lasketaan kolme suoran pistettä, sijoitetaan ne koordinaatistoon ja piirretään suora.

\[\begin{split}\begin{array}{c|ccc} x & 0 & 10 & 20 \\\hline y & \num{5.0} & \num{1.5} & \num{-2.0} \end{array}\end{split}\]

Suoran yhtälö voidaan määrittää tarkasti, kun tunnetaan

• suoran kulmakerroin \(k\) ja yksi suoran piste,
• kaksi suoran pistettä.

Tarkastellaan esimerkillä, miten yhtälön muodostamisen voi tehdä.

Esimerkki 1.3.5

Suora kulkuu pisteen \(\left(-2, 6 \right)\) kautta ja sen kulmakerroin on \(-4\). Määritä suoran yhtälö.

Ratkaisu

Koska suoran kulmakerroin tunnetaan, suoran yhtälö on muotoa \(y = -4x + b\). On vielä määrättävä yhtälössä esiintyvä vakio \(b\). Koska piste \(\left( -\num{2}, 6 \right)\) on suoran piste, täytyy koordinattien toteuttaa suoran yhtälö. Kun suoran yhtälöön sijoitetaan \(x = -2\), pitää \(y\)-koodinaatiksi tulla \(6\), joten saadaan yhtälö

\[-4\cdot \left( -2 \right) + b = 6 \quad \Leftrightarrow \quad b = 6 - 8 = -2.\]

Kysytty suoran yhtälö on siten \(y = -4x - 2\).

Esimerkki 1.3.6

Määritä pisteiden \(\left( -7, 8 \right)\) ja \(\left( 5, -3 \right)\) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu

Annettujen pisteiden on toteutettava suoran yhtälö \(y = kx + b\), joten sijoittamalla koordinaatit yhtälöön saadaan yhtälöpari

\[\begin{split}\begin{cases} -7k + b = 8 \\ 5k + b = -3. \end{cases}\end{split}\]

Ratkaistaan \(k\) lisäämällä yhtälöt toisiinsa:

\[\begin{split}\begin{cases} -7k + b = 8 \\ -5k - b = 3 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad -12k = 11 \quad \Rightarrow \quad k = -\frac{11}{12}.\end{split}\]

Ratkaistaan \(b\) laventamalla luvun \(k\) kertoimet samoiksi ja vähentämällä yhtälöt toisistaan:

\[\begin{split}\begin{cases} -35k + 5b = 40 \\ -35k - 7b = 21 \end{cases}\quad \Rightarrow \quad 12b = 19 \quad \Rightarrow \quad b = \frac{19}{12}.\end{split}\]

Siis kysytty suoran yhtälö on \(y = -\frac{11}{12}x + \frac{19}{12}\).

Kaavakirjoista löytyy myös valmis kaava suoran yhtälön määrittämiseksi. Suoran yhtälö on

\[y - y_1 = k\left( x - x_1 \right),\]

kun suora kulkee pisteen \(\left( x_1, y_1 \right)\) kautta ja kulmakerroin \(k\) tunnetaan.

Jos tiedetään kaksi suoran pistettä \(\left( x_1, y_1 \right)\) ja \(\left( x_2, y_2 \right)\), kulmakerroin saadaan niiden avulla kaavalla

\[k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}.\]

Ratkaistaan edellinen esimerkki uudelleen käyttäen näitä kaavoja.

Esimerkki 1.3.7

Määritä pisteiden \(\left( -7, 8 \right)\) ja \(\left( 5, -3 \right)\) kautta kulkevan suoran yhtälö.

Ratkaisu

Lasketaan ensin kulmakerroin

\[k = \frac{-3 - 8}{5 -\left( -7 \right) } = - \frac{11}{12}.\]

Sijoitetaan kulmakerroin ja toinen tunnetuista pisteistä (tässä valittu \(\left( -7, 8 \right)\)) suoran yhtälön laskukaavaan

\[\begin{split}\begin{aligned} &y - 8 = - \frac{11}{12}\cdot \left( x -\left( -7 \right) \right) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 8 = - \frac{11}{12}\left( x + 7 \right) \\ \Leftrightarrow \quad &y - 8 = - \frac{11}{12}x - \frac{77}{12} \\ \Leftrightarrow \quad &y = - \frac{11}{12}x + \frac{19}{12} .\end{aligned}\end{split}\]

Siis kysytty suoran yhtälö on \(y = - \frac{11}{12}x + \frac{19}{12}\).

Palautusta lähetetään...