Sovellus: heilurin jaksonajan määrittäminen

Kun edellisessä heiluriesimerkissä alkukulma \(\theta_0\) on ”suuri”, on edellä heilurin jaksolle \(T\) tehty approksimaatio huono. Johdetaan tarkka kaava jaksolle \(T\) yleisellä \(\theta_0\). Kuvan kolmiosta päätellään, että

\[L-h=L\cos\theta,\]

missä \(L-h\le0\), jos \(\frac{\pi}{2}\le\theta\le\pi\). Punnuksen korkeus kulmalla \(\theta\) on siis

\[h(\theta)=L(1-\cos\theta).\]

Korkeusero lähtökulmasta \(\theta_0\) kulmaan \(\theta\ge0\) on

\[\Delta h=h(\theta_0)-h(\theta)=L(\cos\theta-\cos\theta_0).\]

Punnus lähtee liikkeelle levosta, joten vauhti \(v\) saadaan mekaanisen energian säilymislaista \(mg\Delta h=\frac{1}{2}mv^2\), josta ratkaistaan

\[v=\sqrt{2g\Delta h}=\sqrt{2gL(\cos\theta-\cos\theta_0)}.\]

Jos rataliikkeen kulmanopeutta merkitään kirjaimella \(\omega\), niin \(v=L\omega=-L\dfrac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}\), joten

\[\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=-\frac{v}{L}=-\sqrt{\frac{2g}{L}}\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}.\]

Olkoon alussa (\(\theta=\theta_0\)) ajanhetki \(t=0\), jolloin punnuksen saapuessa alimpaan pisteeseen (\(\theta=0\)) aika on \(t=\frac{T}{4}\). Nyt jakson neljännes on myös integraali

\[\frac{T}{4}=\int_0^{T/4}\,\mathrm{d}t,\]

johon voidaan tehdä muuttujanvaihto \(\theta=\theta(t)\). Aiemmasta kaavasta saadaan

\[\mathrm{d}t=-\sqrt{\frac{L}{2g}}\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}.\]

Määritetään vielä uudet rajat. Kun \(t=0\), niin \(\theta=\theta_0\) ja kun \(t=T/4\), niin \(\theta=0\), joten

\[\begin{aligned} \frac{T}{4}=-\sqrt{\frac{L}{2g}}\int_{\theta_0}^0\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}}, \end{aligned}\]

ja edelleen

\[\begin{aligned} T =\sqrt{\frac{8L}{g}}\int_0^{\theta_0}\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{\cos\theta-\cos\theta_0}} =\sqrt{\frac{4L}{g}}\int_0^{\theta_0}\frac{\mathrm{d}\theta}{\sqrt{k^2-\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}}, \end{aligned}\]

kun käytetään trigonometrista muunnoskaavaa \(\cos\alpha=1-2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)\) kahdesti ja merkitään \(k=\sin\left(\frac{\theta_0}{2}\right)\). Tehdään nyt muuttujanvaihto

\[k\sin\varphi=\sin\left(\frac{\theta}{2}\right),\]

josta derivoimalla puolittain muuttujan \(\theta\) suhteen

\[k\cos\varphi\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}\theta}=\frac12\cos\left(\frac{\theta}{2}\right),\]

eli

\[\begin{aligned} \mathrm{d}\theta =\frac{2k\cos\varphi}{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}\,\mathrm{d}\varphi =\frac{2k\sqrt{1-\sin^2\varphi}}{\sqrt{1-\sin^2\left(\frac{\theta}{2}\right)}}\,\mathrm{d}\varphi =\frac{2k\sqrt{1-\sin^2\varphi}}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}\,\mathrm{d}\varphi. \end{aligned}\]

Määritetään uudet rajat. Kun \(\theta=0\), niin \(k\sin\varphi=0\), eli \(\varphi=0\), ja kun \(\theta=\theta_0\), niin \(k\sin\varphi=k\), eli \(\varphi=\frac{\pi}{2}\). Saadaan

\[\begin{split}\begin{aligned} T &=4\sqrt{\frac{L}{g}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{k\sqrt{1-\sin^2\varphi}}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}\sqrt{k^2-k^2\sin\varphi}}\,\mathrm{d}\varphi\\ &=4\sqrt{\frac{L}{g}}\int_0^{\pi/2}\frac{\mathrm{d}\varphi}{\sqrt{1-k^2\sin^2\varphi}}. \end{aligned}\end{split}\]

Tätä integraalia kutsutaan elliptiseksi integraaliksi, ja sitä ei voida laskea suljetussa muodossa (eli ilman sarjoja). Binomisarja eksponentin arvolla \(k=-\frac{1}{2}\) on

\[\frac{1}{\sqrt{1+x}}=1-\frac12x+\frac38x^2-\cdots,\]

joten soveltamalla tätä arvolla \(x=-k^2\sin^2\phi\) saadaan

\[\begin{aligned} T =4\sqrt{\frac{L}{g}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\frac12k^2\sin^2\varphi+\frac38k^4\sin^4\varphi+\cdots\right)\,\mathrm{d}\phi. \end{aligned}\]

Ottamalla tästä mukaan useampia termejä saadaan yhä tarkempia arvioita heilahdusajalle myös suuremmilla \(\theta_0\).

1. approksimaatio:

\[\begin{aligned} T\approx4\sqrt{\frac{L}{g}}\int_0^{\pi/2}\,d\phi=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}. \end{aligned}\]

Päädyttiin samaan arvioon kuin edellisessä esimerkissä.

2. approksimaatio:

\[\begin{split}\begin{aligned} T &\approx4\sqrt{\frac{L}{g}}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(1+\frac12k^2\sin^2\varphi\right)\,\mathrm{d}\varphi =4\sqrt{\frac{L}{g}}\bigg(\frac{\pi}{2}+\frac{k^2}{2}\underbrace{\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^2\varphi\,\mathrm{d}\varphi}_{=\pi/4}\bigg)\\ &=2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}\left(1+\frac{\sin^2\left(\frac{\theta_0}{2}\right)}{4}\right). \end{aligned}\end{split}\]

Nähdään, että suuremmilla \(\theta_0\) heilahdusaika kasvaa amplitudin \(\theta_0\) kasvaessa (katso tämän artikkelin animaatio).

Posting submission...