Epäoleellinen integraali

Edellä integraali määriteltiin vain rajoitetulla välillä \([a,b]\) määritellylle rajoitetulle (yleensä paloittain jatkuvalle) fuktiolle. Yleistämme nyt tätä määritelmää myös tapauksiin, joissa

1. integroimisväli on rajoittamaton (\(a=-\infty\) tai \(b=\infty\)), tai
2. funktio ei ole rajoitettu.

Näitä integraaleja kutsutaan yhteisesti epäoleellisiksi (improper).

Rajoittamaton integroimisväli

Määritelmä.

Olkoon \(f\) jatkuva välillä \([a,\infty)\). Määritellään

\[\int_a^\infty f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{c\to\infty}\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x.\]

Vastaavasti jos \(f\) on jatkuva välillä \((-\infty,a]\), määritellään

\[\int_{-\infty}^a f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{c\to-\infty}\int_c^a f(x)\,\mathrm{d}x.\]

Mikäli raja-arvo on (äärellisenä) olemassa, kyseinen epäoleellinen integraali suppenee (converges), muulloin hajaantuu (diverges).

Lause.

Olkoon \(a>0\) ja \(p\) reaaliluku. Tällöin epäoleellinen integraali

\[\int_a^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^p}\]

suppenee jos ja vain jos \(p > 1\).

Todistus.

Olkoon \(c>a\). Oletetaan ensin, että \(p\ne1\). Tällöin

\[\begin{split}\int_a^c\frac{\mathrm{d}x}{x^p} =\frac{1}{1-p}\bigg/_{\mspace{-10mu}\,a}^{\,c}\frac{1}{x^{p-1}} =\frac{1}{1-p}\left(\frac{1}{c^{p-1}}-\frac{1}{a^{p-1}}\right) \to\begin{cases} \frac{a^{1-p}}{p-1},&\text{kun }p>1\\ \infty,&\text{kun }p<1, \end{cases}\end{split}\]

kun \(c\to\infty\). Tapauksessa \(p=1\)

\[\int_a^c\frac{\mathrm{d}x}{x} =\bigg/_{\mspace{-10mu}\,a}^{\,c}\ln x=\ln c-\ln a\to\infty,\]

kun \(c \to \infty\). \(\square\)

Potenssifunktioiden integroituvuudessa välillä \([a,\infty)\) funktio \(\frac{1}{x}\) on siis rajatapaus. Vertaa tulosta funktioiden kuvaajiin.

Hajaantuvan integraalin arvo ei välttämättä ole \(\infty\) tai \(-\infty\).

Esimerkki.

Esimerkiksi

\[\int_0^c\cos x\,dx=\bigg/_{\mspace{-10mu}\,0}^{\,c}\sin x=\sin c,\]

jolla ei ole raja-arvoa, kun \(c\to\infty\). Niinpä esimerkiksi

\[\int_0^\infty\cos x\,\mathrm{d}x\]

hajaantuu. Miten voit päätellä tämän jo kosinifunktion kuvaajasta?

Huomautus.

Selvissä tapauksissa voidaan käyttää merkintää

\[\bigg/_{\mspace{-10mu}\,a}^{\,\infty}F(x):=\lim_{c\to\infty}\bigg/_{\mspace{-10mu}\,a}^{\,c}F(x).\]

Esimerkiksi

\[\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x}=\bigg/_{\mspace{-10mu}\,1}^{\,\infty}\ln x=\ln(\infty)-\ln(1)=\infty.\]

Rajoittamaton funktio

Määritelmä.

Olkoon \(f\) jatkuva, mutta rajoittamaton välillä \([a,b)\). Määritellään

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{c\to b-}\int_a^c f(x)\,\mathrm{d}x.\]

Vastaavasti jos \(f\) on jatkuva, mutta rajoittamaton välillä \((a,b]\), määritellään

\[\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=\lim_{c\to a+}\int_c^b f(x)\,\mathrm{d}x.\]

Mikäli raja-arvo on (äärellisenä) olemassa, kyseinen epäoleellinen integraali suppenee, muulloin hajaantuu.

Lause.

Olkoon \(a>0\) ja \(p\in\mathbb R\). Tällöin epäoleellinen integraali

\[\int_0^a\frac{dx}{x^p}\]

suppenee jos ja vain jos \(p < 1\).

Todistus.

Samaan tapaan kuin vastaava lause rajoittamattomalle välille. \(\square\)

Esimerkki.

Suppeneeko vai hajaantuuko \(\displaystyle\int_1^2\frac{\mathrm{d}x}{(x-2)^2}\)?

Ratkaisu.

Integroitava funktio

\[\frac{1}{(x-2)^2}\to\infty,\]

kun \(x\to 2-\), joten kyseessä on epäoleellinen integraali ja

\[\begin{split}\begin{aligned} \int_1^2\frac{\mathrm{d}x}{(x-2)^2} &=\lim_{c\to2-}\int_1^c\frac{\mathrm{d}x}{(x-2)^2} =\lim_{c\to2-}\bigg/_{\mspace{-10mu}\,1}^{\,c}-\frac{1}{x-2}\\ &=\lim_{c\to2-}\left(-\frac{1}{c-2}-1\right)=\infty. \end{aligned}\end{split}\]

Integraali siis hajaantuu.

Integroimisvälin jako osiin

Jos integroimisväli on \((-\infty,\infty)\), tai on useampia pisteitä, joiden ympäristöissä \(f\) on rajoittamaton, on integroimisväli jaettava osiin siten, että saadaan epäoleelliset integraalit \(I_1,I_2,\ldots,I_n\), joissa on vain joko määritelmän mukainen rajoittamattoman välin tai rajoittamattoman funktion tapaus. Määritellään, että funktion \(f\) integraali \(I\) suppenee, jos jokainen \(I_i\) suppenee. Tällöin asetetaan

\[I=I_1+I_2+\cdots+I_n.\]

Esimerkki.

Tutki epäoleellisten integraalien

1. \(\displaystyle\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^2}\),
2. \(\displaystyle\int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{x^{1/3}}\),
3. \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}\)

suppenemista, ja laske arvo suppenevassa tapauksessa.

Ratkaisu.

1. Integroitava funktio \(\frac{1}{x^2}\to\infty\), kun \(x\to0+\), joten kyseessä on epäoleellinen integraali, joka voidaan jakaa osiin

   \[\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^2}=\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^2}+\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^2}.\]

   Muotoa \(\frac{1}{x^p}\) olevien funktioiden epäoleellisten integraalien suppenemistuloksen mukaan ensimmäinen näistä integraaleista hajaantuu, joten kysytty integraali myös hajaantuu.

2. Integroitava funktio \(\frac{1}{x^{1/3}}\to\pm\infty\), kun \(x\to0\pm\), joten kyseessä on epäoleellinen integraali, joka voidaan jakaa osiin

   \[\begin{split}\begin{aligned} \int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{x^{1/3}}&=\int_{-1}^0\frac{\mathrm{d}x}{x^{1/3}}+\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x^{1/3}} =\lim_{c\to0-}\int_{-1}^c\frac{\mathrm{d}x}{x^{1/3}}+\lim_{c\to0+}\int_c^1\frac{\mathrm{d}x}{x^{1/3}}\\ &=\lim_{c\to0-}\bigg/_{\mspace{-10mu}\,-1}^{\,c}\frac32x^{2/3}+\lim_{c\to0+}\bigg/_{\mspace{-10mu}\,c}^{\,1}\frac32x^{2/3} =-\frac32+\frac32=0. \end{aligned}\end{split}\]

3. Integroitava funktio toteuttaa ehdon \(0<\frac{1}{1 + x^2}\le1\) aina, kun \(x \in \mathbb R\) joten se on rajoitettu. Integroimisväli puolestaan on molemmista päistä rajoittamaton, joten integroimisväli täytyy jakaa kahteen osaan. Jaetaan esimerkiksi pisteen \(0\) kohdalta ja saadaan

   \[\begin{split}\begin{aligned} \int_{-\infty}^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2} &=\int_{-\infty}^0\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}+\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}\\ &=\lim_{c\to-\infty}\int_c^0\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}+\lim_{c\to\infty}\int_0^c\frac{\mathrm{d}x}{1+x^2}\\ &=\lim_{c\to-\infty}\bigg/_{\mspace{-10mu}\,c}^{\,0}\arctan x+\lim_{c\to\infty}\bigg/_{\mspace{-10mu}\,0}^{\,c}\arctan x\\ &=\Big(0-\Big(-\frac{\pi}{2}\Big)\Big)+\Big(\frac{\pi}{2}-0\Big) =\pi. \end{aligned}\end{split}\]

Huomautus.

1. Parittoman funktion epäoleellinen integraali pisteen \(0\) suhteen symmetrisen välin yli ei ole automaattisesti nolla, esimerkiksi

   \[\begin{aligned} \int_{-1}^1\frac{\mathrm{d}x}{x}=\int_{-1}^0\frac{\mathrm{d}x}{x}+\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{x}=-\infty+\infty. \end{aligned}\]

   Tämä integraali siis hajaantuu, sillä sen osista ainakin toinen hajaantuu.

2. Analyysin peruslauseessa oletus funktion jatkuvuudesta koko suljetulla ja rajoitetulla välillä on oleellinen. Esimerkiksi huolimattomasti voisimme laskea

   \[\int_{-1}^1\frac{dx}{x^2}\stackrel{\text{!}}{=}-\bigg/_{\mspace{-10mu}\,-1}^{\,1}\frac{1}{x}=-(1+1)=-2.\]

   Tämän laskun tulos on selvästi virheellinen jo siksi, että integroitava funktio on positiivinen kaikilla \(x\ne0\).

Seuraavia vertailuperiaatteita voidaan käyttää epäoleellisen integraalin suppenevuuden tai hajaantuvuuden tutkimiseen.

Lause.

Olkoon \(-\infty\le a<b\le\infty\) ja oletetaan, että jatkuville funktioille \(f(x)\) ja \(g(x)\) pätee \(0\le f(x)\le g(x)\) aina, kun \(f(x)\) ja \(g(x)\) on määritelty. Tällöin

1. jos \(\displaystyle\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\) suppenee, niin \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) suppenee,
2. jos \(\displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x\) hajaantuu, niin \(\displaystyle\int_a^b g(x)\,\mathrm{d}x\) hajaantuu.

Kohtaa 1 kutsutaan majoranttiperiaatteeksi ja kohtaa 2 minoranttiperiaatteeksi.

Minoranttiperiaate sanoo siis, että jos pienemmän funktion integraali hajaantuu, niin silloin suuremmankin funktion integraali hajaantuu. Kääntäen majoranttiperiaatteen mukaan, jos suuremman funktion integraali suppenee, niin silloin myös pienemmän funktion integraali suppenee (vertaa kuvaan funktioiden \(\frac{1}{x^p}\) kuvaajista eri luvuilla \(p\)). Tässä on huomattava, että tutkittavien funktioiden täytyy olla ei-negatiivisia. Esimerkiksi \(f(x)=-1/x\le1/x^2=g(x)\) välillä \(x\in[1,\infty)\), mutta \(\int_1^\infty f(x)\,\mathrm{d}x\) hajaantuu, vaikka \(\int_1^\infty g(x)\,\mathrm{d}x\) suppenee.

Todistus.

Tutkitaan tapausta \(-\infty<a\) ja \(b=\infty\). Funktio

\[F(c)=\int_a^cf(x)\,\mathrm{d}x\]

on kasvava, sillä analyysin peruslauseen nojalla \(F'(c) = f(c) \geq 0\). Voidaan osoittaa, että kasvavalla funktiolla on raja-arvo \(\lim\limits_{c\to\infty}F(c)\) joko äärellisenä tai raja-arvo on \(\infty\), eli ei voi käydä kuten esimerkissä funktiosta \(\cos x\), jossa raja-arvoa ei heilahtelun vuoksi ole olemassa. Niinpä lauseen ensimmäisen väitteen todistamiseksi riittää osoittaa, että raja-arvo ei ole \(\infty\). Nyt

\[F(c)=\int_a^cf(x)\,\mathrm{d}x\le\int_a^cg(x)\,\mathrm{d}x=:G(c),\]

ja oletuksen mukaan \(\lim\limits_{c\to\infty}G(c)<\infty\). Raja-arvojen ominaisuuksista seuraa, että tällöin myös \(\lim\limits_{c\to\infty}F(c)<\infty\). Lauselogiikan kielellä tulkittuna minoranttiperiaate on majoranttiperiaatteen kontrapositio, joten myös se on todistettu. Muut tapaukset todistuvat samaan tapaan. \(\square\)

Esimerkki.

Tutki epäoleellisten integraalien

1. \(\displaystyle\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+x^3}}\)
2. \(\displaystyle\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{x}}\)

suppenemista.

Ratkaisu.

1. Integraali suppenee, sillä

   \[0\le\frac{1}{\sqrt{x+x^3}}\le\frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{x^{3/2}},\]

   kun \(x\ge1\) ja \(\displaystyle\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^{3/2}}\) suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. Usein tällainen arvio kirjoitetaan lyhyesti

   \[0\le\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x+x^3}}\le\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x^3}}=\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{x^{3/2}}<\infty.\]

2. Koska \(1+\sqrt{x}\le\sqrt{x}+\sqrt{x}=2\sqrt{x}\), kun \(x\ge1\), niin voidaan arvioida

   \[\int_0^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{x}} \ge\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{1+\sqrt{x}} \ge\frac12\int_1^\infty\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{x}}=\infty.\]

   Integraali siis hajaantuu minoranttiperiaatteen nojalla.

Posting submission...